חשבו (בלי מחשבון)
\frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}
אני מניח שהתכוונת (במקום 52^2 התכוונת 54^4 אחרת יוצא מספר לא שלם):
\frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}
אם כן, אשמח אם תערוך את ההודעה שלך.
הפתרון - תחילה נשים לב כי מתקיים:
x^4+324=(x^2-6x+18)(x^2+6x+18)
עתה, נשים לב כי הביטוי מורכב מתת-ביטוים מהצורה \frac{(n+6)^4+324}{n^4+324} ולכן ננסה לפרק אותן:
\begin{align*}
\frac{(n+6)^4+324}{n^4+324}
&= \frac{((n+6)^2-6(n+6)+18)((n+6)^2+6(n+6)+18)}{(n^2-6n+18)(n^2+6n+18)} \\
&= \frac{(n^2+6n+18)((n+6)^2+6(n+6)+18)}{(n^2-6n+18)(n^2+6n+18)} \\
&=\dfrac{(n+6)^2+6(n+6)+18}{n^2-6n+18}
\end{align*}
לפיכך, נוכל להסיק כי מרבית הביטויים מצטמצמים:
\begin{align*}
&\frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)} \\
&\qquad = \frac{(52+6)^2+6(52+6)+18}{4^2-6\cdot 4+18} = \frac{3730}{10}=373
\end{align*}
2 לייקים
כן, ערכתי את זה לפני כמה שעות אבל כנראה שזה לא שמר, לילה טוב.