גבול של קבוצת המקסימום של פונקציות

תהי x_0\in \mathbb{R} ונניח כי \lim_{x\to x_0}f(x)=L_f וגם \lim_{x\to x_0}g(x)=L_g ובנוסף L_f\leq L_g.
נגדיר: h(x)=\max\{f(x),g(x)\}. הוכיחו כי מתקיים \lim_{x\to x_0}h(x)=L_g.

אני מבין לגמרי את האינטואיציה שמאחורי התרגיל.
אני מחפש דרך פורמלית לגמרי להוכיח את זה .
צריך עזרה עם הניסוח המדויק.

כדי להוכיח את הטענה, אתה צריך להראות שתי טענות עזר בסיסיות למדי (משאיר את ההוכחה לך).
הטענה הראשונה אומרת כי אם \lim (f(x)-g(x))=L_f אז \lim |f(x)-g(x)|=|L_f-L_g|.
הטענה השנייה אומרת כי לכל a,b מתקיים \max\{a,b\}=\frac{|a-b|+(a+b)}{2}.

אם הצלחת להוכיח את שתי טענות הנ"ל אז הצלחת להוכיח 90 אחוז מההוכחה.
תנסה לחשוב כיצד הטענות הנ"ל עוזרות לך להגיע לפתרון.
אם לא תצליח לחשוב על הפתרון, אתה מוזמן להסתכל בדרך הבאה:

\begin{align*} \lim_{x\to x_0} \max\{f(x),g(x)\}&=\lim_{x\to x_0}\frac{1}{2}\left[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|\right] \\ & = \frac{1}{2}\left[\lim_{x\to x_0} f(x)+\lim_{x\to x_0} g(x)+\lim_{x\to x_0} |f(x)-g(x)|\right]\\ &=\frac{1}{2}\left[L_f+L_g+|L_f-L_g|\right] = \max\{L_f,L_g\} \end{align*}

נתון L_f\leq L_g ולכן בהכרח מתקיים:

\lim_{x\to x_0} \max\{f(x),g(x)\}=L_g

מקווה שמובן, בהצלחה :slight_smile: