הוכח/הפרך: קבוצה היא תת-מרחב של מרחב נתון

[shashlik]

עבור הקבוצה הנתונה U קבעו האם היא תת-מרחב של V. נמקו את תשובתכם:

V=\mathbb{R}^4,\, U=Span\left\{ \begin{bmatrix}-1\\ 2\\ 0\\ 9 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}3\\ 5\\ -8\\ 2 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\ 0\\ -4\\ 11 \end{bmatrix}\right\}

אני יודע ש- span זה כל הצירופים הליניארים. אני גם יודע שהתשובה לזה היא כן שהיא תת מרחב
אבל אני לא מצליח להבין כיצד להוכיח זאת בצורה פורמלית ולכן אשמח לעזרה

[Alon]

ברור כי U היא תת קבוצה של R^4, כדי להראות כי U תת מרחב, נראה כי היא לא ריקה והיא סגורה לחיבור וכפל בסקלר.

לשם הנוחות, נקרא לוקטורים בSpan הנתון x_1,x_2,x_3

וקטור האפס הוא איבר בקבוצה, וגם כל וקטור שבקבוצה הפורשת הוא איבר בקבוצה ולכן ברור כי הקבוצה לא ריקה.

כל איבר ב U, הוא צירוף ליניארי של הוקטורים הספאן, נקח שני איברים ב U, u_1,u_2 \in U ונראה כי מתקיים u_1+u_2 \in U:

לפי הגדרת הספאן, מתקיים:

u_1 = a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3

u_2 = a_4x_1+a_5x_2+a_6x_3

עבור

a_i \in R

לכן:

u_1 + u_2 = (a_1+a_4)x_1 + (a_2+a_5)x_2 + (a_3+a_6)x_3

ולפי סגירות שדה הממשיים מתקיים כי גם המקדמים של סכום הוקטורים, הם מקדמים בשדה ולכן סכום האיברים גם הוא איבר ב U כלומר:

u_1+u_2 \in U

לכן מתקיימת סגירות לחיבור.

את הסגירות לכפל בסקלר אשאיר לך.

הקבוצה U היא קבוצה ב R^4 שאיננה ריקה וסגורה לחיבור וכפל בסקלר, לכן U היא תת מרחב של R^4.