קביעת התכנסות של טור התלוי בפרמטרים

נתון הטור הבא:

\frac{\alpha}{\beta}-\frac{\alpha(\alpha+1)}{\beta(\beta+1)}+\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)}{\beta(\beta+1)(\beta+2)}-\cdots

עבור \alpha,\beta>0. קבעו האם הוא מתכנס או מתבדר.
האם אפשר לקבל כיוון לשאלה?

זאת גרסה של הטור ההיפרגיאומטרי של גאוס (באנגלית: Gaussian hypergeometric series):

\begin{aligned} -{_2F_1}(1,\alpha,\beta,-1)-1 &=-\sum_{k=1}^\infty \frac{(1)_k (\alpha)_k}{(\beta)_k\, k!}(-1)^k\\ &=\frac{\alpha}{\beta}-\frac{\alpha(\alpha+1)}{\beta(\beta+1)}+\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)}{\beta(\beta+1)(\beta+2)}-\cdots \end{aligned}

טור זה מתכנס בהחלט אם מתקיים \beta-(\alpha+1)>0.
אם תבחר \alpha=1 וגם \beta=1 תקבל את הטור הבא:

\frac{1}{1}-\frac{1(1+1)}{1(1+1)}+\frac{1(1+1)(1+2)}{1(1+1)(1+2)}-\cdots=1-1+1-1+1-\cdots

שהוא כמובן לא מתכנס. לכן הטור המבוקש, לאו דווקא מתכנס.