חישוב גבול של מנת פולינומים

[barshix]

נתונה הפונקציה הבאה:

f(x)=\frac{(4x+1)(4x^2+1)(2x^3+1)(-x^4+1)(-x^5+1)(-4x^6+1)(-3x^7+1)}{((7x)^7+1)^4}

חשבו את הגבול \lim_{x\to\infty} f(x).

האם אפשר לקבל כיוון בתרגיל הזה? אני פשוט מסתכל עליו ואין לי שמץ של מושג באיזה כלי עליי להשתמש, משהו בי אומר שאולי כדי לנסות הגדרת גבול בלשון סדרות אבל אין לי מושג איך ליישם אותו.
תודה רבה.

[Zeta]

הרעיון פשוט להוציא את x^n מכל אחד מהביטויים בסוגריים, כאשר n הינה החזקה הגובה ביותר של הפולינום בסוגריים. כלומר עבור -4x^6+1 תוציא את x^6 ועבור 4x+1 תוציא את x. סה"כ נקבל:

\begin{align*} \lim_{x\to\infty}f(x) & =\lim_{x\to\infty}\frac{(4x+1)(4x^2+1)(2x^3+1)(-x^4+1)(-x^5+1)(-4x^6+1)(-3x^7+1)}{((7x)^7+1)^4}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x^{28}}(4+\frac{1}{x})(4+\frac{1}{x^2})(2+\frac{1}{x^3})(-1+\frac{1}{x^4})(-1+\frac{1}{x^5})(-4+\frac{1}{x^6})(-3+\frac{1}{x^7})}{\left( x^7\left( 7^7+\frac{1}{x^7}\right )\right )^4}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x^{28}}(4+\frac{1}{x})(4+\frac{1}{x^2})(2+\frac{1}{x^3})(-1+\frac{1}{x^4})(-1+\frac{1}{x^5})(-4+\frac{1}{x^6})(-3+\frac{1}{x^7})}{\frac{1}{x^{28}}\left( 7^7+\frac{1}{x^7}\right )^4}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{(4+\frac{1}{x})(4+\frac{1}{x^2})(2+\frac{1}{x^3})(-1+\frac{1}{x^4})(-1+\frac{1}{x^5})(-4+\frac{1}{x^6})(-3+\frac{1}{x^7})}{\left( 7^7+\frac{1}{x^7}\right )^4}\\ &=\frac{(4+0)(4+0)(2+0)(-1+0)(-1+0)(-4+0)(-3+0)}{( 7^7+0)^4}\\ &=\frac{4\cdot4\cdot2\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-4)\cdot(-3))}{7^{28}}=\frac{4^3\cdot2\cdot3}{7^{28}} =\frac{2^7\cdot3}{7^{28}} \end{align*}

מקווה שמובן, בהצלחה