הוכחת אי רציפות בנקודה של פונקציה מורכבת

תהי f(x) פונקציה המוגדרת בסביבת x_0.

תהי g(x) פונקציה הרציפה בנקודה x_0.

כאשר נתון כי

f(x) = g(x)D(x)

ו

D(x) = \left\{\begin{matrix} 1 & x \in Q \\ 0 & x \notin Q \end{matrix}\right.

כלומר D(x) היא פונקציית דיריכלה.

הוכיחו כי אם g(x_0) \neq 0 אז f אינה רציפה ב x_0 לפי הגדרת הרציפות בלשון \varepsilon, \delta.

אז כיוון אחד נראה לי יש:

*אם x \in Q, אז יהי \varepsilon = \frac{|g(x_0)|}{2}, לכל \delta > 0 , קיים x \notin Q כך שאם 0<|x-x_0| < \delta (לפי צפיפות האי רציונאליים בממשיים אפשר למצוא x כזה) אז

|f(x) - f(x_0)| = |0-g(x_0)| = |g(x_0)| > \frac{|g(x_0)|}{2} = \varepsilon

ולכן f אינה רציפה ב x_0.

כעת הכיוון השני הוא בעייתי:

*אם x \notin Q איך בוחרים במקרה כזה את \varepsilon? כי אם נקח כמו במקרה הקודם, נקבל ש \varepsilon = 0 אבל משפט השלילה של הרציפות דורש הוא \exists \varepsilon > 0 .