אשמח לעזרה בסעיף ב’ של השאלה הבאה:
א. יהי V מרחב לינארי ממימד סופי ותהי העתקה לינארית S\, : \,V\to V. הוכיחו שקיימת העתקה לינארית T\,:\,V\to V כך שמתקיים KerTS=\{0\} אך KerT\neq\{0\}. נמקו.
ב. נתון התת-מרחב הבא:
W=\left\{ \begin{pmatrix}b & -a & 3a+b\\
c & 0 & a+2c\\
-3c & c & b
\end{pmatrix}\in M_{3}(\mathbb{R})|a,b,c\in\mathbb{R}\right\}
תנו דוגמה להעתקה לינארית T\,:\,M_{3\times3}(\mathbb{R})\to M_{3\times3}(\mathbb{R}) כך שמתקיים W\subset ImT וגם KerT הוא התת-מרחב של המטריצות הסימטריות ב-M_{3\times3}(\mathbb{R}) שאיברי האלכסון שלהן כולם אפס.
הערה: לאחר שתגדירו את ההעתקה, הקפידו לבדוק שהעתקה זו אכן מקיימת את תנאי השאלה.
בסעיף ב’, מישהו יכול לעזור לי להבין מה הדרך למצוא כזו העתקה לינארית? יש לוגיקה שעליה מתבססים בחיפוש זה?