שלום לכולם,
נתונה הטענה הבאה: תהי A מטריצה הפיכה. אזי המטריצה המשוחלפת A^t היא מטריצה הפיכה.
אני מנסה להוכיח את המשפט אבל ללא הצלחה.
אשמח להסבר או כיוון כיצד לגשת להוכחת הטענה.
תודה רבה 
תהי A מטריצה הפיכה. עלינו להראות כי המטריצה המשוחלפת של המטריצה A, כלומר המטריצה A^t היא מטריצה הפיכה. לשם כך, עלינו למצוא מטריצה C כך שמתקיים:
A^t\cdot C=C\cdot A^t=I
נשים לב כי המטריצה A הפיכה ולכן קיימת המטריצה ההפוכה A^{-1} כך שמתקיים:
A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I
נגדיר את המטריצה C להיות C=\left(A^{-1}\right)^t.
כעת, נשים לב כי מתקיים:
A^t\cdot C=A^t\cdot \left(A^{-1}\right)^t=\left(A^{-1}\cdot A\right)^t=I^t=I
כמו כן, נשים לב כי מתקיים:
C\cdot A^t=\left(A^{-1}\right)^t\cdot A^t=\left(A\cdot A^{-1}\right)^t=I^t=I
לכן, נוכל להסיק כי המטריצה C משמשת כמטריצה ההופכית של A^t משמע המטריצה המשוחלפת A^t הפיכה, כנדרש.