שלום, אשמח אם תנתן לי חוות דעת על פתרון השאלה, מה לא בסדר ומה צריך לשפר?
השאלה: פונקציה f(x) המוגדרת בקטע I\subseteq \mathbb{R} נקראת חסומה באופן מקומי, אם לכל x_0\in I קיים \delta >0 כך שהפונקציה f(x) חסומה בקטע (x_0-\delta ,x_0+\delta ). אם x_0 היא נקודה קצה של הקטע I, אנו לוקחים קטע מהצורה [x_0-\delta ,x_0+\delta ) או (x_0-\delta ,x_0+\delta ].
א. תנו דוגמה לפונקציה המוגדרת בקטע פתוח, שהיא חסומה באופן מקומי, אך איננה חסומה.
ב. הוכיחו כי פונקציה המוגדרת בקטע סגור וחסומה באופן מקומי, הינה חסומה (רמז: הוכיחו בדרך השלילה והשתמשו במשפט בולצאנו ויירשטראס).
פתרון שלי: נפתור את הסעיפים:
א. ניקח את פונקציית הזהות f(x)=x המוגדרת בקטע \mathbb{R}. נשים לב כי עבור I=[-2,2]\subseteq \mathbb{R} נקבל חסימות באופן מקומי.
ב. תהי g(x) פונקציה המוגדרת בקטע B=[a,b] כך שהיא מקיימת חסימות באופן מקומי. נוכיח כי g(x) חסומה. נניח בשלילה כי הפונקציה g(x) לא חסומה. לכן לא קיימים \min g(x) ו-\max g(x). נתון כי קיים I\subseteq B כך שקיים \delta >0 עבור x_0\in I הפונקציה g(x) חסומה בו. נבחר I=B. לכן לפי משפט בולצאנו ויירשטראס קיימים \min g(x) ו-\max g(x) בקטע I=B=[a,b] בסתירה להנחה שלפונקציה g(x) אין \min g(x) ו-\max g(x) בקטע זה. לכן הנחת השלילה אינה נכונה. מכך נובע כי פונקציה המוגדרת בקטע סגור וחסומה באופן מקומי, הינה חסומה.
בסעיף א’ אתה צריך להוכיח באופן פורמלי, שפונקציית f\,:\,I\to\mathbb{R} המוגדרת על-ידי f(x)=x היא חסומה באופן מקומי בתחום I שציינת. שים לב כי מתקיים |f(x)|\leq 4 לכל \delta ו-x_0 שתבחר ולכן הפונקציה f(x) חסומה באופן מקומי בתחום I. כמו כן, אתה צריך להוכיח באופן פורמלי כי הפונקציה f אינה חסומה ב-\mathbb{R}.
בסעיף ב’ - ההוכחה לא נכונה. משפט בולצאנו-ויירשטראס קובע כי לכל לכל סדרה אינסופית חסומה של נקודות ב-\mathbb{R}^n קיימת תת-סדרה מתכנסת. המשפט לא קובע כי לפונקציה קיים מינימום או מקסימום (אם הפונקציה הייתה רציפה, אזי משפט דומה אחר היה קובע את זה אבל אתה לא יודע שהפונקציה הנתונה היא רציפה).
אם אתה שואל מה כן אפשר לעשות אזי התבונן על ההוכחה הבאה:
תהי f פונקציה המוגדרת בקטע סגור I וחסומה באופן מקומי. נוכיח כי היא חסומה בקטע I. נניח בשלילה כי הפונקציה f אינה חסומה בקטע I. לכן קיימת סדרת נקודות \{x_n\} מהתחום I כך שמתקיים |f\left(x_n\right)|>n לכל n. אם לא היה ניתן לבחור סדרה כזאת, אזי בשלב מסוים, נניח בשלב N>n, נקבל כי לא קיימות יותר נקודות המקיימות |f\left(x_N\right)|>N, כלומר N הוא חסום מלעיל.
ע"פ משפט בולצאנו-ויירשטראס קיימת תת-סדרה \{x_{n_k}\} אשר מתכנסת ל-L. התחום I סגור ולכן בהכרח L\in I. ע"פ הגדרת חסימות מקומית נובע כי קיים קטע (L-\delta,L+\delta) ומספר M_L כך שמתקיים |f(t)|\leq M_L כאשר t בקטע. אבל לכל הערכים הגדולים מספיק של k, הנקודה x_{n_k} חייבת להיות חלק מהקטע (L-\delta,L+\delta). משני התנאים |f\left(x_{n_k}\right)|>{n_k} ו- |f\left(x_{n_k}\right)|\leq M_L נקבל סתירה שכן שני התנאים הנ"ל לא יכולים להתקיים בו-זמנית עבור k גדול מספיק. לכן, הנחת השלילה אינה נכונה משמע הפונקציה f בהכרח חסומה, כנדרש.