מציאת הערך המינימלי של שיפוע המשיק לגרף הפונקציה

[shashlik]

שלום, יש לי שאלה שפתרתי אותה אבל לא הבנתי למה הפתרון נכון. השאלה הינה:

מהו הערך המינימלי של שיפוע המשיק לגרף הפונקציה y=3x+\sin x.

מצאתי את הערך המינימלי אבל לא הצלחתי להבין למה בשביל למצוא את הערך, אני צריך לחקור את הנגזרת.
אשמח להסבר, תודה רבה לעוזרים

[marbd]

בעזרת כלים מהחשבון האינפיניטסימלי, ניתן להגדיר את השיפוע של פונקציה בנקודה כלשהי כשיפוע של הישר המשיק לפונקציה בנקודה זו.

הגדרה פורמלית: הנגזרת של הפונקציה y=f(x) בנקודה x=x_0 בתחום הפונקציה, היא שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה \left(x_0,f(x_0)\right). סימונים נוספים: f'(x_0) או f'(x)|_{x=x_0}.
במילים פשוטות יותר, שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה x_0 שעל הגרף שווה לערך הנגזרת בנקודה x_0.

כאשר קיים שיפוע כזה נאמר שהפונקציה גזירה בנקודה והשיפוע שלה נקרא נגזרת. באופן יותר פורמלי, פונקציה f(x) נקראת גזירה בנקודה x=x_0 אם בנקודה זו קיימת הנגזרת f'(x_0).

ישנן מספר מסקנות אשר נובעות מההגדרה הראשונה:

• על מנת למצוא את שיפוע משיק לגרף הפונקציה בנקודה x_0, עלינו לבצע את השלבים הבאים:
  • נמצא את נגזרת הפונקציה.
  • נציב את שיעור ה-x הנתון בנגזרת הפונקציה.
  • התוצאה של השלב הקודם היא השיפוע המבוקש.
• כאשר נתון שיפוע של משיק לגרף הפונקציה ונרצה למצוא את נקודת ההשקה, עלינו לבצע את השלבים הבאים:
  • נמצא את נגזרת הפונקציה.
  • נשווה את הנגזרת לשיפוע, נפתור את המשוואה ונקבל את ערכי ה-x בנקודת (או נקודות) ההשקה.

כדי למצוא את הערך המינימלי של שיפוע, עלינו לדבר על מספר הגדרות נוספות:
תהי f פונקציה ממשית ותהי x_0 נקודה בתחום של f.

• נאמר כי x_0 היא נקודת מקסימום מקומי של f אם קיימת סביבה שבה f מוגדרת ואשר בה f(x_0) הוא המקסימום של f (כלומר מתקיים f(x)\leq f(x_0) לכל x בסביבה זו). במקרה זה נאמר כי הערך f(x_0) הוא מקסימום מקומי של f.
• נאמר כי x_0 היא נקודת מינימום מקומי של f אם קיימת סביבה שבה f מוגדרת ואשר בה f(x_0) הוא המינימום של f (כלומר מתקיים f(x)\geq f(x_0) לכל x בסביבה זו). במקרה זה נאמר כי הערך f(x_0) הוא מינימום מקומי של f.

הגדרת נקודת קיצון: נקודה x_0 היא נקודת קציון של הפונקציה f אם היא נקודת מינימום מקומי או נקודת מקסימום מקומי. אם x_0 היא נקודת קיצון של f, הערך f(x_0) נקרא ערך קיצון של f.

אם תשלב את ההגדרות, תוכל להסיק כי כדי למצוא את הערך המינימלי של שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f, עלייך לחקור את הנגזרת של הפונקציה f.

נתבונן על הפונקציה y=x^2. המשיק לגרף הפונקציה (0,0) הוא ציר ה-x. השיפוע של ציר ה-x הוא 0. לכן, ע"פ ההגדרה לעיל נוכל להסיק כי הנגזרת של הפונקציה f(x)=x^2 בנקודה x=0 היא f'(0)=0. נאמר כי הפונקציה f(x)=x^2 גזירה בנקודה x=0. שים לב כי במקרה זה x=0 הוא הערך המינימלי של שיפוע המשיק לגרף הפונקציה.
לעומת זאת, אם נתבונן על הפונקציה y=|x| בנקודה (0,0), נוכל להסיק כי המשיק לא קיים. לכן, ע"פ ההגדרה, נוכל להסיק כי לפונקציה f(x)=|x| בנקודה x=0 אין נגזרת.

מקווה שמובן, בהצלחה