מציאת גבול של פונקציה טריגונומטרית

חשבו את הגבול הבא:

\lim_{x\to\frac{11\pi}{6}} \frac{13(\tan^{3}x-\frac{1}{3}\tan x)}{28\cos\left(x-\frac{7\pi}{3}\right)}

גבול מהצורה \frac{0}{0}.
למכנה עם הקוסינוס מצאתי בקלות נוסחה.
המונה פה מאוד בעייתי לי ולא מצאתי דרך לפרק אותו.
אשמח לעזרה :slight_smile:

הייתי פותר את הגבול הנ"ל בדרך קצת אחרת מזו שניסית (פחות מתוחכמת כנראה).
נגדיר את הפונקציה הבאה:

f(x)= \frac{13(\tan^{3}x-\frac{1}{3}\tan x)}{28\cos\left(x-\frac{7\pi}{3}\right)}

נשתמש בזהויות הטריגונומטריות \sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\theta וגם \sin\left(\theta+2\pi\right)=\sin\theta, כך שנקבל:

\begin{align*} f(x)&=\frac{13(\tan^{3}x-\frac{1}{3}\tan x)}{28\cos\left(x-\frac{7\pi}{3}\right)}=\frac{13(\tan^{3}x-\frac{1}{3}\tan x)}{28\cos\left(x-\frac{5\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\right)}\\ &=\frac{13(\tan^{3}x-\frac{1}{3}\tan x)}{28\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)} \end{align*}

נשתמש בזהות הטריגונומטרית \tan=\frac{\sin x}{\cos x}, כך שנקבל:

\begin{align*} f(x)&=\frac{13(\tan^{3}x-\frac{1}{3}\tan x)}{28\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{13}{28}\left(\frac{\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{3}-\frac{\sin x}{3\cos x}}{\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\right)\\&=\frac{13}{84}\left(\frac{3\sin^{3}x-\cos^{2}x\cdot\sin x}{\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\cos^{3}x}\right)=\frac{13}{84}\left(\frac{1}{\cos^{3}x}\right)\left(\frac{3\sin^{3}x-\cos^{2}x\cdot\sin x}{\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\right) \end{align*}

נשים לב כי מתקיים:

\lim_{x\to\frac{11\pi}{6}}\frac{1}{\cos^{3}x}=\frac{1}{\cos^{3}\left(\frac{11\pi}{6}\right)}=\frac{8}{3\sqrt{3}}

כמו כן, ע"פ כלל לופיטל נקבל:

\begin{align*} \lim_{x\to\frac{11\pi}{6}}\frac{3\sin^{3}x-\cos^{2}x\cdot\sin x}{\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}&=\lim_{x\to\frac{11\pi}{6}}\frac{11\cos x\cdot\sin^{2}x-\cos^{3}x}{\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{11\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)\cdot\sin^{2}\left(\frac{11\pi}{6}\right)-\cos^{3}\left(\frac{11\pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{11\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right)}\\&=\frac{11\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}}{1}=\sqrt{3} \end{align*}

סה"כ נקבל:

\lim_{x\to\frac{11\pi}{6}}f(x)=\frac{13}{84}\cdot\frac{8}{3\sqrt{3}}\cdot\sqrt{3}=\frac{26}{63}