להוכיח טענות על פונקציית הרכבה

יהיו f ו-g פונקציות מ-\mathbb{R} ל-\mathbb{R} המקיימות (f\circ g)(x)=x לכל x\in\mathbb{R}. הוכיחו או הפריכו:
א. הפונקציה f חד-חד-ערכית.
ב. הפונקציה g חד-חד-ערכית.
ג. הפונקציה f על.
ד. הפונקציה g על.
ה. מתקיים (g\circ f)(x)=x לכל x\in\mathbb{R}.
ו. אם g היא על אז מתקיים (g\circ f)(x)=x לכל x\in\mathbb{R}.
רמז: בחלק מסעיפי השאלה אפשר להיעזר בפונקציות:

k(x)=\begin{cases} x & x\leq0\\ x+1 & x>0 \end{cases},\,h(x)=\begin{cases} x & x\leq0\\ x-1 & x>0 \end{cases}

לא עשינו בכיתה תרגילים שדומים לזה, וגם בספר אין תרגילים שיכולים לעזור לי עם הפתרון של השאלה הזו, ככה שאני קצת מתקשה פה עם התרגיל. אם אפשר עזרה, אפילו רק כיוון לפתרון זה יעזור לי מאוד. תודה רבה! :slight_smile:

אפתור את כל הסעיפים אבל אני ממליץ לנסות לבד. תנסה לקרוא את תחילת ההוכחה/הפרכה ולהשלים אותה בעצמך.

א. הטענה לא נכונה. שתי הפונקציות בדוגמה שנמצאת ברמז מפריכות זאת. נגדיר:

g(x)=\begin{cases} x & x\leq0\\ x+1 & x>0 \end{cases},\,f(x)=\begin{cases} x & x\leq0\\ x-1 & x>0 \end{cases}

תחילה נוכיח כי הפונקציות הנ"ל עומדות בתנאי השאלה. לשם כך, עלינו להראות כי לכל x\in \mathbb{R} מתקיים (f\circ g)(x)=x.
ע"פ הגדרות שתי הפונקציות, לכל x\leq0 מתקיים g(x)=x וגם f(x)=x. לכן ע"פ הגדרת הרכבת פונקציות נקבל f\left(g(x)\right)=f(x)=x, משמע (f\circ g)(x)=x.
מצד שני, ע"פ הגדרות שתי הפונקציות, לכל x\geq0 מתקיים g(x)=x+1 וגם f(x)=x-1. לכן ע"פ הגדרת הרכבת פונקציות נקבל f\left(g(x)\right)=f(x+1)=x, משמע (f\circ g)(x)=x.
קיבלנו כי לכל x\in \mathbb{R} מתקיים (f\circ g)(x)=x.
עתה נוכיח כי הפונקציה f אינה חד-חד-ערכית. לשם כך, עלינו להראות כי קיימים x_1,x_2\in \mathbb{R} שונים כך שמתקיים f(x_1)=f(x_2). נשים לב כי מתקיים:

\begin{cases} f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\\ f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2} \end{cases}\Rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right)

לפיכך נוכל להסיק כי הפונקציה f אינה חד-חד-ערכית, כנדרש.

ב. הטענה נכונה. נוכיח כי הפונקציה g היא חד-חד-ערכית. לשם כך, עלינו להראות כי לכל x,y\in \mathbb{R} המקיימים g(x)=g(y) מתקיים x=y. אם g(x)=g(y) אז נקבל f\left(g(x)\right)=f\left(g(y)\right) ולכן ע"פ ההנחה נובע x=y משמע הפונקציה g חד-חד-ערכית.

ג. הטענה נכונה. נוכיח כי הפונקציה f היא על. לשם כך, עלינו להראות כי לכל y\in \mathbb{R} קיים x\in\mathbb{R} כך שמתקיים f(x)=y. יהי y\in\mathbb{R}. ע"פ ההנחה מתקיים:

y=(f\circ g)(y)=f\left(g(y)\right)

כלומר, לכל איבר ב-\mathbb{R} הוא תמונה על-ידי הפונקציה f של איבר מתאים ב-\mathbb{R} ולכן f על.

ד. הטענה אינה נכונה. על מנת להפריך את הטענה, נשתמש בפונקציות שהשתמשנו בסעיף א’. אנו לא צריכים להוכיח שהפונקציות הנ"ל מקיימות את תנאי השאלה שכן כבר הוכחנו זאת בסעיף א’. נוכיח כי הפונקציה g אינה על. לשם כך, עלינו להראות כי קיים y\in\mathbb{R} כך שלא קיים x\in\mathbb{R} כך שמתקיים g(x)=y. נבדוק האם \frac{1}{2} נמצא בתמונה. נשים לב כי לכל x\leq0 מתקיים g(x)=x\leq 0 ולכן בהכרח לא קיים x\leq 0 המקיים g(x)=\frac{1}{2}. אם x>0 אז מתקיים g(x)=x+1>1 ולכן בהכרח לא קיים x>0 המקיים g(x)=\frac{1}{2}. סה"כ קיבלנו כי לא קיים x ממשי המקיים g(x)=\frac{1}{2} ולכן \frac{1}{2} לא נמצא בתמונה משמע הפונקציה g אינה על.

ה. הטענה אינה נכונה. נשתמש שוב בפונקציות מסעיף א’. עבור x=\frac{1}{2} מתקיים:

(g\circ f)\left(\frac{1}{2}\right)=g\left(f\left(\frac{1}{2}\right)\right)=g\left(\frac{1}{2}-1\right)=g\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}

לכן נוכל להסיק כי מתקיים (g\circ f)\left(\frac{1}{2}\right)\neq\frac{1}{2}. זה סותר את הטענה שלכל x\in\mathbb{R} מתקיים (g\circ f)(x)=x.

ו. הטענה נכונה. יהי y_0\in\mathbb{R}. הפונקציה g היא על ולכן קיים x_0\in\mathbb{R} כך שמתקיים g(x_0)=y_0. ע"פ ההנחה מתקיים:

x_{0}=\left(f\circ g\right)(x_{0})=f\left(g(x_{0})\right)=f(y_{0})

לכן נקבל:

\left(g\circ f\right)(y_{0})=g\left(f(y_{0})\right)=g(x_{0})=y_{0}

לפיכך, נוכל להסיק כי אם g היא על אזי מתקיים \left(g\circ f\right)(x)=x לכל x\in\mathbb{R}.

בהצלחה :slight_smile: