שלום לכולם,
יהיו f ו-g פונקציות גזירות ב-\mathbb{R} ותהי h(x)=f\left(g(x)\right).
הוכיחו כי אם f ו-g יורדות ב-\mathbb{R} אז h עולה ב-\mathbb{R}.
כיצד עלי להוכיח את הטענה באופן פורמלי?
תודה רבה.
יהיו f ו-g שתי פונקציות גזירות ב-\mathbb{R} ותהי h(x)=f\left(g(x)\right). נוכיח כי אם f ו-g הן פונקציות יורדות ב-\mathbb{R} אזי h היא פונקציה עולה ב-\mathbb{R}. הפונקציות f ו-g גזירות ב-\mathbb{R} ולכן פונקציית ההרכבה h גזירה ב-\mathbb{R}.
נגזור את הפונקציה h כך שע"פ כלל השרשרת נקבל:
h'(x)=f'\left(g(x)\right)\cdot g'(x)
הפונקציה f יורדת ב-\mathbb{R} ולכן לכל x\in \mathbb{R} מתקיים f'(x)<0. הערך g(x) לכל x\in \mathbb{R} נמצא בטווח של הנגזרת f' ולכן נקבל f'\left(g(x)\right)<0 לכל x\in\mathbb{R}. כמו כן, הפונקציה g יורדת ב-\mathbb{R} ולכן לכל x\in \mathbb{R} מתקיים g'(x)<0. סה"כ נקבל:
h'(x)=f'\left(g(x)\right)\cdot g'(x)<0\cdot 0=0
קיבלנו כי לכל x\in\mathbb{R} מתקיים h'(x)<0 ולכן הפונקציה h יורדת ב-\mathbb{R}.