שלום לכולם,
כיצד עלי להוכיח את משפט אי-שוויון המשולש?
משפט: לכל a,b\in\mathbb{R} מתקיים |a+b|\leq |a|+|b|.
אשמח לעזרה עם ההוכחה.
תודה רבה 
כדי להוכיח את אי-שוויון המשולש, עלינו להוכיח טענת עזר.
טענת עזר: לכל a\in\mathbb{R} מתקיים |a|=\max\{a,-a\}.
הוכחת טענת עזר: נפריד למקרים לפי a:
- אם a\geq 0 אז -a\leq 0 ולכן a\geq -a, כלומר |a|=a=\max\{a,-a\}.
- אם a<0 אז -a>0 ולכן a<-a, כלומר |a|=-a=\max\{a,-a\}.
לפיכך השוויון |a|=\max\{a,-a\} מתקיים לכל a.
נחזור להוכחת אי-שוויון המשולש. ע"פ טענת העזר, נוכל להסיק כי מתקיים:
|a+b|=\max\{a+b,-(a+b)\}
לכן |a+b|=-(a+b) או |a+b|=a+b.
במקרה הראשון, מתקיים:
|a+b|=a+b\leq|a|+|b|
במקרה השני, מתקיים:
|a+b|=(-a)+(-b)\leq|-a|+|-b|=|a|+|b|
בכל מקרה, נוכל להסיק כי לכל a,b\in\mathbb{R} מתקיים:
|a+b|\leq|a|+|b|
כנדרש.