הוכחת אי-שוויון המשולש

כדי להוכיח את אי-שוויון המשולש, עלינו להוכיח טענת עזר.
טענת עזר: לכל a\in\mathbb{R} מתקיים |a|=\max\{a,-a\}.
הוכחת טענת עזר: נפריד למקרים לפי a:

• אם a\geq 0 אז -a\leq 0 ולכן a\geq -a, כלומר |a|=a=\max\{a,-a\}.
• אם a<0 אז -a>0 ולכן a<-a, כלומר |a|=-a=\max\{a,-a\}.

לפיכך השוויון |a|=\max\{a,-a\} מתקיים לכל a.

נחזור להוכחת אי-שוויון המשולש. ע"פ טענת העזר, נוכל להסיק כי מתקיים:

לכן |a+b|=-(a+b) או |a+b|=a+b.
במקרה הראשון, מתקיים:

במקרה השני, מתקיים:

בכל מקרה, נוכל להסיק כי לכל a,b\in\mathbb{R} מתקיים:

כנדרש.