תהי f(x) פונקציה רציפה ב-[0,+\infty) כך שמתקיים f(x)\geq0 לכל x\geq0.
הוכיחו כי אם \lim_{x\to +\infty}f(x)=0, אזי קיים \max_{x\in[0,+\infty)} f(x).
האינטואיטיביות של התרגיל ברורה לי כשמש.
אך להבין את התרגיל לעומת לרשום את ההוכחה, אלו שני עולמות שונים לגמרי.
אשמח לעזרה בניסוח ההוכחה.
תהי f:[0,\infty)\to[0,\infty) פונקציה רציפה כך שלכל x\geq 0 מתקיים f(x)\geq 0. אם f \equiv 0 אז הטענה טריוויאלית. אחרת, קיימת נקודה t_0\in\mathbb R המקיימת f(t_0)>0. כמו כן, ע"פ הגבול הנתון, נוכל להסיק כי קיים R>0 כך שלכל t>R מתקיים f(t)<f(t_0). לכן, מאחר והקטע I:=[0,R] סגור ומאחר והפונקציה f רציפה בקטע זה נובע כי קיים f\mid_I שהוא המקסימום הגלובלי של הפונקציה f. במילים אחרות, קיים \max_{x\in[0,+\infty)}f(x), כנדרש.