הוכחת קיום מקסימום בעזרת משפט ויירשטראס

תהי f:[0,\infty)\to[0,\infty) פונקציה רציפה כך שלכל x\geq 0 מתקיים f(x)\geq 0. אם f \equiv 0 אז הטענה טריוויאלית. אחרת, קיימת נקודה t_0\in\mathbb R המקיימת f(t_0)>0. כמו כן, ע"פ הגבול הנתון, נוכל להסיק כי קיים R>0 כך שלכל t>R מתקיים f(t)<f(t_0). לכן, מאחר והקטע I:=[0,R] סגור ומאחר והפונקציה f רציפה בקטע זה נובע כי קיים f\mid_I שהוא המקסימום הגלובלי של הפונקציה f. במילים אחרות, קיים \max_{x\in[0,+\infty)}f(x), כנדרש.