הוכיחו בעזרת משפט לגראנז כי לכל x>y>0 ו-n>1 מתקיים:
שלום לכולם, אשמח לעזרה בתרגיל הנ"ל.
אני לא כזה סגור על כל הנושא של משפט לגרנז’ .הבנתי אותו בכלליות וחלקי מהתרגילים אני מצליח לפתור וחלק מאוד גדול לא. אשמח להכוונה בנושא הזה.
אני יודע מה אני אמור לעשות אני יודע את הנוסחאות את כל מה שאפשר אבל כשאני מגיע לתרגיל אין לי מושג מאיפה אני מתחיל או מה הפונקציה שאני צריך להוציא ואתה מה אני מציב בנוסחה של לגרנז’.
שלום @shashlik, ערכתי בשבילך את הפוסט כדי שתהיה שאלה קונקרטית אחת בפוסט. שני הטענות הן בלתי תלויות (אם כי ההוכחות הן בעזרת משפט לגרנאז’) ולכן אנא פתח פוסט חדש עבור השאלה הנוספת. בצורה זו, חיפוש עתידי בפורום יהיה פשוט יותר. כמו כן, אולי אחרי שתצליח לפתור את השאלה הנ"ל, אתה תצליח לפתור גם את השאלה השנייה 
לפני שנוכיח את הטענה, עלינו להבין את משמעות המשפט:
משפט הערך הממוצע של לגרנאז’: תהי f פונקציה רציפה בקטע הסגור [a,b] וגזירה בקטע הפתוח (a,b). אזי קיימת נקודה c\in(a,b) המקיימת f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
לכן, הרעיון בשאלה הוא להגדיר פונקציה מתאימה f(x) כך שתוכל להשתמש במשפט הערך הממוצע של לגרנאז’ ולהגיע לצורה של אי-שוויון.
מטעמי נוחות, נחליף את הסימונים ונוכיח את הטענה הבאה: לכל a>b>0 ו-n>1 מתקיים:
נגדיר: f(x)=x^n-b^n. הפונקציה f רציפה ב-\mathbb{R} ולכן בפרט היא רציפה בכל תת-קטע [b,a] כאשר מתקיים a>b>0. כמו כן, היא רציפה ולכן גזירה בקטע הפתוח (b,a).
לפיכך, ע"פ משפט הערך הממוצע של לגרנאז’ נובע כי קיים c\in(b,a) המקיים:
מצד שני, הפונקציה f היא גזירה בקטע (b,a) ולכן נקבל f'(x)=nx^{n-1}.
נציב x=c ונקבל f'(c)=nc^{n-1}. סה"כ נוכל להסיק כי מתקיים:
ע"פ c\in(b,a) נובע b\leq c \leq a. מאחר והפרמטרים a ו-b חיובים נובע כי גם c חיובי. לפיכך, נעלה את צידי האי-שוויון בחזקת n-1 כך שנקבל b^{n-1}\leq c^{n-1} \leq a^{n-1}. נשים לב כי n>1 ולכן נכפול ב-n את צידי האי-שוויון כך שנקבל nb^{n-1}\leq nc^{n-1} \leq na^{n-1}. נציב את השוויון הקודם שקיבלנו, כך שנקבל:
לפיכך נוכל להסיק כי מתקיים:
כנדרש.