עזרה - חישוב גבול של סדרה

מתמטיקה
1

תהי a_n סדרה בה a_1=1 כך שלכל n\in \mathbb{N} מתקיים 2a_{n+1}<a_n<3a_{n+1}.

צריך להוכיח כי a_n מתכנסת לגבול סופי ולחשב את הגבול.

כעת השאלה שלי היא כזו:

נניח והראתי באינדוקציה שהיא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע על ידי 0,
איך אני מחשבת את גבול הסדרה?

תודה רבה לעוזרים!

2

ברוך הבא לפורום.
מאחר והסדרה מונוטונית וחסומה נובע כי היא מתכנסת.
נסמן: L=\lim_{n\to \infty}a_n. לפיכך, נוכל להסיק כי מתקיים L=\lim_{n\to \infty}a_{n+1}.
נתון 2a_{n+1}<a_n ולכן נקבל:

\lim_{n\to\infty}2a_{n+1}\leq\lim_{n\to\infty}a_n\implies 2L\leq L \implies L\leq 0

כמו כן, נתון a_n < 3a_{n+1} ולכן נקבל:

\lim_{n\to\infty}a_{n}\leq\lim_{n\to\infty}3a_{n+1}\implies L\leq3 L \implies L\geq 0

קיבלנו L\geq 0 וגם L\leq 0 ולכן L=0, כלומר a_n מתכנס ל-0.

לייק 1
3

תודה רבה.
למעשה השתמשת במשפט אי שיוויון?

4

אם את מתכוונת למשפט הסנדוויץ אז לא. השתמשתי באי-שוויון “רגיל”.

5

לא התכוונתי לאישיוויון דווקא לא בהקשר של סנדויץ.
בכל מקרה תודה