תהי f(x) פונקציה רציפה ב-[0,2] כך שמתקיים f(0)=f(2).
הוכיחו כי קיימים x_1 ו-x_2 ב-[0,2] כך שמתקיים x_{2}-x_{1}=1 וגם f(x_1)=f(x_2).
שאלה שהתקשיתי בה כי לא ידעתי כיצד לגשת להוכחה.
אשמח לעזרה.
תהי f(x) פונקציה רציפה בקטע הסגור I=[0,2] כך שמתקיים f(0)=f(2).
נגדיר את הפונקציה g(x)=f(x)-f(x+1). כמו כן, נסמן f(0)=f(2)=a וגם f(1)=b.
לכן על-פי ההנחה f(0)=f(2) נובע g(0)=a-b וגם g(1)=b-a=-g(0).
הפונקציה f רציפה בקטע I ולכן גם הפונקציה g רציפה בקטע זה. מאחר ומתקיים a\neq b נובע כי הפונקציה g בהכרח מחליפה סימן בקטע. הפונקציה g רציפה בקטע [0,1] ולכן ע"פ משפט ערך הביניים נובע כי קיים c\in[0,1] המקיים g(c)=0. לכן ע"פ הגדרת הפונקציה g, נוכל להסיק כי מתקיים f(c)-f(c+1)=0, כלומר f(c)=f(c+1). לפיכך נובע כי קיימים x_1,x_2 בקטע הסגור המקיימים x_2-x_1=1 וגם f(x_1)=f(x_2), כנדרש.