שלום לכולם, נתונה ההגדרה הבאה של קבוצה צפופה:
הגדרה: קבוצה A\subseteq \mathbb{R} נקראת קבוצה צפופה ב-\mathbb{R} אם לכל x,y\in \mathbb{R} המקיימים x<y קיים a\in A כך שמתקיים a\in (x,y).
טענה: קבוצת המספרים הרציונליים \mathbb{Q} צפופה ב-\mathbb{R}.
כיצד עלי להוכיח את הטענה?
כדי להוכיח את הטענה, עלינו תחילה להוכיח טענת עזר שתעזור לנו בהוכחת הטענה.
טענת עזר: לכל c>0 קיים n\in\mathbb{N} כך שמתקיים \frac{1}{n}<c.
הוכחת טענת עזר: יהי c>0. ע"פ משפט ארכימדס, קיים מספר טבעי n המקיים n>\frac{1}{c}. לכן עבור c>0 מתקיים \frac{1}{n}<c לכל n\in\mathbb{N}, כנדרש.
נוכיח את הטענה: יהיו x<y מספרים ממשיים. נוכיח שקיים q\in\mathbb{Q} המקיים x<q<y. ע"פ טענת העזר, קיים מספר טבעי n המקיים \frac{1}{n}<y-x. נרצה למצוא מספר רציונלי מהצורה q=\frac{m}{n} עבור m\in\mathbb{Z}. מאחר והמספרים מצורה זו נמצאים במרווחים של \frac{1}{n} זה מזה, נצפה שבקטע (x,y) שאורכו גדול מ-\frac{1}{n} יימצא מספר כזה. ואכן התנאי x<\frac{m}{n}<y שקול לתנאי nx<m<ny. נבחר m=\lfloor nx\rfloor +1. מאחר ומתקיים ny-nx>1 נובע nx<\lfloor nx\rfloor +1\leq nx+1<ny. לכן נקבל nx<m<ny, כלומר x<\frac{m}{n}<y. מצאנו מספר רציונלי בקטע (x,y) ולכן קבוצת המספרים הרציונליים צפופה בקבוצת הממשיים, כנדרש.