הוכחת גזירות של פונקציה לא זהותית שווה לאפס

תהי f\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R} פונקציה לא זהותית שווה לאפס. נתון שהפונקציה גזירה ב-0 ומקיימת f(a+b)=f(a)f(b) לכל a,b\in\mathbb{R}.
הוכיחו כי הפונקציה f גזירה בכל \mathbb{R} ומתקיים f'(x)=f'(0)f(x).
אשמח להכוונה כיצד עלי להוכיח את הטענה הנ"ל.
תודה רבה

הפונקציה f אינה זהותית אפס ולכן קיים x\in\mathbb{R} המקיים f(x)\neq 0. יהי a\in\mathbb{R}. לכן נקבל:

\begin{align} f(x)&=f(x+a-a)=f(x+a)f(-a)\\ &=f(x)f(a)f(-a)\neq 0 \end{align}

לכן f(x)\neq 0 גורר f(a)\neq 0 לכל a\in\mathbb{R}. כמו כן, מתקיים:

f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)

לכן f(0) יכול להיות אפס או אחד. הראנו קודם כי לכל a\in\mathbb{R} מתקיים f(a)\neq 0 ולכן נוכל להסיק כי בהכרח מתקיים f(0)=1.
נתון כי הפונקציה f גזירה ב-x=0 ולכן ע"פ ההגדרת הגזירות מתקיים:

\begin{align} f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{f(x)\,f(h)-f(x)}{h}\\ &=f(x)\lim_{h\to0}\frac{f(h)-1}{h}\\ \end{align}

הראנו קודם כי מתקיים f(0)=1 ולכן נקבל:

f'(x)=f(x)\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=f(x)f'(0)

נשים לב כי f(x)f'(0) מוגדר וקיים. מאחר ומתקיים f'(x)=f(x)f'(0) נובע כי הפונקציה f גזירה לכל x\in\mathbb{R}. בפרט, הראנו כי מתקיים:

f'(x)=f'(0)f(x)

כנדרש.