הפונקציה f אינה זהותית אפס ולכן קיים x\in\mathbb{R} המקיים f(x)\neq 0. יהי a\in\mathbb{R}. לכן נקבל:
\begin{align}
f(x)&=f(x+a-a)=f(x+a)f(-a)\\ &=f(x)f(a)f(-a)\neq 0
\end{align}
לכן f(x)\neq 0 גורר f(a)\neq 0 לכל a\in\mathbb{R}. כמו כן, מתקיים:
f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)
לכן f(0) יכול להיות אפס או אחד. הראנו קודם כי לכל a\in\mathbb{R} מתקיים f(a)\neq 0 ולכן נוכל להסיק כי בהכרח מתקיים f(0)=1.
נתון כי הפונקציה f גזירה ב-x=0 ולכן ע"פ ההגדרת הגזירות מתקיים:
\begin{align}
f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{f(x)\,f(h)-f(x)}{h}\\
&=f(x)\lim_{h\to0}\frac{f(h)-1}{h}\\
\end{align}
הראנו קודם כי מתקיים f(0)=1 ולכן נקבל:
f'(x)=f(x)\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=f(x)f'(0)
נשים לב כי f(x)f'(0) מוגדר וקיים. מאחר ומתקיים f'(x)=f(x)f'(0) נובע כי הפונקציה f גזירה לכל x\in\mathbb{R}. בפרט, הראנו כי מתקיים:
f'(x)=f'(0)f(x)
כנדרש.