Ben
8 בינואר, 2020, 5:27pm
1
נתונה הפונקציה f\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R} המוגדרת על-ידי:
f(x,y)=3x^4+\cos(xy)+3x^4
הוכיחו כי מתקיימת המשוואה הבאה:
\frac{y^2 \frac{\delta^2 f}{\delta x^2}-x^2 \frac{\delta^2 f}{\delta y^2}}{x^4-y^4}=\cos(xy)
לא ממש הבנתי מה אני אמור לעשות כאן. כשניסיתי לגזור את הפונקציה פעם אחת לפי y ופעם אחת לפי x עד סדר שני, יצא לי ביטוי יחסית ארוך ומסורבל אבל לא ברור לי איך הוא משתווה לשוויון גם כשאני עושה מכנה משותף.
Gilad
8 בינואר, 2020, 5:39pm
2
תהי פונקציה f מהממשיים לממשיים המוגדרת על-ידי f(x,y)=3x^4+\cos(xy)+3y^4 .f לפי x :
\frac{\delta f}{\delta x}=12x^3-y\cdot \sin(xy)
נמשיך לגזור את הנגזרת הראשון לפי x :
\frac{\delta f^2}{\delta x}=36x^2-y^2\cos(xy)
נגזור את הפונקציה f לפי y :
\frac{\delta f}{\delta y}=12y^3-x\cdot \sin(xy)
נמשיך לגזור את הנגזרת הראשון לפי y :
\frac{\delta f}{\delta y}=36y^2-x^2\cos(xy)
לכן סה"כ, נוכל להסיק כי מתקיים:
\begin{align*}
\frac{y^2 \frac{\delta^2 f}{\delta x^2}-x^2 \frac{\delta^2 f}{\delta y^2}}{x^4-y^4}&=\
\frac{y^2\left(36x^2-y^2\cos(xy) \right)-x^2\left(36y^2-x^2\cos(xy) \right)}{x^4-y^4}\\ &=
\frac{36x^2y^2-y^4\cos(xy)-36x^2y^2+x^4\cos(xy)}{x^4-y^4}\\ & = \frac{(x^4-y^4)\cos(xy)}{x^4-y^4}=\cos(xy)
\end{align*}
כנדרש.