בדיקה האם מדובר במרחב מכפלה פנימית

[marbd]

בדקו האם ההגדרה הבאה מהווה מכפלה פנימית על \mathbb{R}^2 כאשר u=(x_1,x_2) ו-v=(y_1,y_2):

f(u,v)=x_1y_1-2x_1y_2-2x_2y_1+5x_2y_2

אני מכיר את ההגדרה של מכפלה פנימית אולם, כיצד אני מראה שחמשת התנאים מתקיימים?
אני קצת מסתבך כי מדובר בפונקציות.
תודה רבה על העזרה!

[Zeta]

לשם הפורמליות, נתחיל מההגדרה של מרחב מכפלה פנימית: יהי V מרחב וקטורי מעל השדה \mathbb{F} (מרוכב או ממשי). פונקציה \langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{F} תיקרא מכפלה פנימית על המרחב אם היא מקיימת את התכונות הבאות:

• אדיטיביות ברכיב הראשון: לכל a,b,c\in V מתקיים:

\langle a+b,c\rangle= \langle a,c\rangle + \langle b,c\rangle

• הומוגניות ברכיב הראשון: לכל a,b\in V ו-\lambda\in \mathbb{F} מתקיים:

\langle \lambda a,b\rangle= \lambda \langle a,b\rangle

• הרמיטיות: לכל a,b\in V מתקיים:

\langle a,b\rangle =\overline{\langle b,a\rangle}

• אי-שליליות: לכל a\in V מתקיים \langle a,a\rangle \geq 0 ויש שוויון אם"ם a=0.

מרחב לינארי V עם מכפלה פנימית נקרא מרחב מכפלה פנימית.
נוכיח אדיטיביות ברכיב הראשון. יהיו u,v,w\in V. נשים לב כי מתקיים:

\begin{align*} \langle u, w\rangle +\langle v,w\rangle &= u_1w_1 − u_1w_2 − u_2w_1 + 3u_2w_2+v_1w_1 − v_1w_2 − v_2w_1 + 3v_2w_2\\ &=(u_1+v_1)w_1 − (u_1+v_1)w_2 − (u_2+v_2)w_1 + 3(u_2+v_2)w_2=\langle u+v, w\rangle \end{align*}

נוכיח הומוגניות ברכיב הראשון. יהיו u,v\in V ו-\lambda\in\mathbb{F}. נשים לב כי מתקיים:

\begin{align*} \langle \lambda u, v\rangle &=\lambda u_1v_1 −\lambda u_1v_2 − \lambda u_2v_1 + 3\lambda u_2v_2\\ &=\lambda (u_1v_1 − u_1v_2 − u_2v_1 + 3 u_2v_2)=\lambda \langle u,v\rangle \end{align*}

נוכיח הרמיטיות. יהיו u,v\in V. נשים לב כי מתקיים:

\begin{align*} \langle u,v\rangle&=u_1v_1 − u_1v_2 − u_2v_1 + 3 u_2v_2\\ &=v_1u_1 − v_1u_2 − v_2u_1 + 3 v_2u_2=\langle v,u\rangle \end{align*}

נוכיח אי-שליליות. נוכיח תחילה כי לכל u\in V מתקיים \langle u,u\rangle \geq 0.

\langle u, u\rangle = u_1u_1 − u_1u_2 − u_2u_1 + 3u_2u_2= (u_1-u_2)^2+ u_2^2\geq 0

נוכיח כי v=0 אם ורק אם \langle u,u\rangle =0. נשים לב כי מתקיים:

\langle u,u\rangle = 0 \iff (u_1-u_2)^2+ u_2^2 =0 \iff u=0

לכן המרחב V הוא מרחב מכפלה פנימית.
בהצלחה