שלום, אשמח לקבל עזרה עם התרגיל הבא:
הוכיחו כי f(x)=\sqrt{x}\sin\sqrt{x} רציפה במידה שווה בקטע [0,\infty).
אני מניח שיש פה איזה טריק טכני שאני מפספס.
שלום, אשמח לקבל עזרה עם התרגיל הבא:
הוכיחו כי f(x)=\sqrt{x}\sin\sqrt{x} רציפה במידה שווה בקטע [0,\infty).
אני מניח שיש פה איזה טריק טכני שאני מפספס.
היי גלעד,
הפונקציה \sin\sqrt x היא הרכבה של שתי פונקציות רציפות בקטע [0,1]. כמו כן, פונקציה f(x)=\sqrt{x}\sin\sqrt{x} היא מכפלה של שתי פונקציה רציפות בקטע [0,1] ולכן היא בעצמה רציפה בקטע זה. לכן, ע"פ משפט קנטור נובע כי היא רציפה במידה שווה בקטע [0,1].
באותו אופן בדיוק נקבל כי f גזירה בקטע (0,\infty) ובפרט בקטע [1,\infty).
עתה, נגזור את הפונקציה f, כך שנקבל:
נשים לב כי מתקיים:
הסבר על המעברים:
הוכחנו כי הפונקציה f חסומה בקטע [1,\infty) ולכן לפי משפט היא רב"ש.
הראנו כי הפונקציה f רציפה במידה שווה בקטעים [0,1] ו- [1,\infty) ולכן היא רציפה במידה שווה בקטע [0,\infty), כנדרש.