להוכיח כי פונקציה רציפה במידה שווה בקטע

שלום, אשמח לקבל עזרה עם התרגיל הבא:

הוכיחו כי f(x)=\sqrt{x}\sin\sqrt{x} רציפה במידה שווה בקטע [0,\infty).

אני מניח שיש פה איזה טריק טכני שאני מפספס.

היי גלעד,
הפונקציה \sin\sqrt x היא הרכבה של שתי פונקציות רציפות בקטע [0,1]. כמו כן, פונקציה f(x)=\sqrt{x}\sin\sqrt{x} היא מכפלה של שתי פונקציה רציפות בקטע [0,1] ולכן היא בעצמה רציפה בקטע זה. לכן, ע"פ משפט קנטור נובע כי היא רציפה במידה שווה בקטע [0,1].
באותו אופן בדיוק נקבל כי f גזירה בקטע (0,\infty) ובפרט בקטע [1,\infty).
עתה, נגזור את הפונקציה f, כך שנקבל:

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin\sqrt{x}+\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\cos\sqrt{x}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\cos\sqrt{x}\right)

נשים לב כי מתקיים:

\begin{align*} |f'(x)| &= \biggm|\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\cos\sqrt{x}\right)\biggm|\leq\frac{1}{2}\cdot\frac{|\sin\sqrt{x}|}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2}\cdot|\cos\sqrt{x}|\\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2}\leq\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \end{align*}

הסבר על המעברים:

  • המעבר הראשון מתקיים ע"פ אי-שוויון המשולש ותכונות ערך המוחלט (ומכך שמתקיים \sqrt{x}>0).
  • המעבר השני מתקיים שכן לכל x\in \mathbb{R}, |sinx|,|cosx|\leq 1.
  • המעבר השלישי מתקיים שכן לכל x\geq 1, \sqrt{x}\geq 1.
    הוכחנו כי הפונקציה f חסומה בקטע [1,\infty) ולכן לפי משפט היא רב"ש.
    הראנו כי הפונקציה f רציפה במידה שווה בקטעים [0,1] ו- [1,\infty) ולכן היא רציפה במידה שווה בקטע [0,\infty), כנדרש.
2 לייקים