תיקון פונקציה כדי שהנגזרת של הפונקציה תהיה רציפה

מתמטיקה
1

נתונה הפונקציה הבאה:

f(x)=\begin{cases} 6x^{\frac{11}{3}}\sin\left(\frac{20}{x}\right)-14\sin\left(-8e^{5x}\right) & x\neq0\\ C & x=0 \end{cases}

מצאו את ערכי C שעבורם הנגזרת f'(x) תהיה מוגדרת ורציפה לכל ערכי x וחשבו את f'(0).
האם אפשר לקבל עזרה? חשבתי שכל ערך שאני אציב ב-C זה לא ישנה כי אז הפונקציה תהיה רציפה אבל כנראה שלא הבנתי את השאלה כמו שצריך.
תודה רבה על העזרה.

2

נגדיר את הפונקציה הבאה:

g(x)=6x^{\frac{11}{3}}\sin\left(\frac{20}{x}\right)-14\sin\left(-8e^{5x}\right)

הפונקציה הזאת רציפה לכל x\neq 0 ולכן גזירה בתחום זה. לכן נגזור:

g'(x)=560 e^{5 x} \cos\left(8 e^{5 x}\right) + 2 x^{\frac{5}{3}} \left(-60 \cos\left(\frac{20}{x}\right) + 11 x \left(\frac{20}{x}\right)\right)

נמצא את הגבול \lim_{x\to 0} g'(x). נשים לב כי מתקיים:

\lim_{x\to0}\left(560e^{5x}\cos\left(8e^{5x}\right)\right)=560e^{5\cdot0}\cos\left(8e^{5\cdot0}\right)=560\cos(8)

כמו כן, לכל x\in\mathbb{R} שונה מאפס מתקיים (קל להוכיח זאת):

-72\leq 11x\sin\left(\frac{20}{x}\right)-60\cos\left(\frac{20}{x}\right)\leq 61

מאחר ומתקיים \lim_{x\to 0}x^{\frac{5}{3}}=0 נקבל:

\lim_{x\to0}\left(2x^{\frac{5}{3}}\left(-60\cos\left(\frac{20}{x}\right)+11x\left(\frac{20}{x}\right)\right)\right)=0

סה"כ, ע"פ אריתמטיקה של גבולות נקבל:

\lim_{x\to 0} g'(x)=560\cos(8)

כלומר, אם יתקיים f'(0)=560\cos(8) אזי הנגזרת של הפונקציה f תהיה רציפה לכל x ממשי.