היי , אני צריך עזרה בשאלה הבאה:
תהא f\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R} פונקציה רציפה.
נניח כי הפונקציה f אינה פונקציה קבועה. כמו כן, נניח כי מתקיים \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=0.
הוכיחו כי קיים \epsilon>0 כך ש-|f(x)| מקבל כל ערך בתחום הפתוח (0,\epsilon).
אשמח לעזרה כיצד להוכיח את הטענה הנ"ל.
תודה!
תהא f\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R} פונקציה רציפה ואינה קבועה אשר מקיימת \lim_{x\to\pm\infty}=0.
הפונקציה f רציפה לכל x ממשי ולכן גם הפונקציה |f| רציפה לכל x ממשי.
יהי x_1 מספר ממשי כך שמתקיים \epsilon=|f(x_1)|\geq0. הפונקציה f היא אינה פונקציה קבועה ולכן בהכרח \epsilon>0. כמו כן מתקיים \lim_{x\to\infty}=0 ולכן נוכל להסיק כי קיים x_2'>x_1 כך שמתקיים \frac{\epsilon}{2}>|f(x_2')|. הפונקציה |f| רציפה לכל x ממשי על פי משפט ערך הביניים נובע כי קיים x_2 ממשי המקיים x_1<x_2<x_2'.באותו אופן נמשיך ונקבל סדרה מונוטונית עולה של מספרים ממשיים כך שעבור x_1<x_2<x_3<\ldots מתקיים |f(x_n)|=\frac{\epsilon}{2^n}. לכן, נוכל להסיק כי כל קטע x\in(0,\epsilon) נמצא בתחום הסגור \left[\frac{\epsilon}{2^{i+1}},\frac{\epsilon}{2^i}\right] עבור i כלשהו. לכן ע"פ משפט ערך הביניים, נוכל להסיק כי קיים y ממשי המקיים x_i<y<x_{i+1} וגם |f(y)|=x.
כלומר, קיים \epsilon>0 כך ש-|f(x)| מקבל כל ערך בתחום הפתוח (0,\epsilon), כנדרש.