עבור אילו ערכים של פרמטרים הפונקציה רציפה וגזירה

מתמטיקה
1

עבור אילו ערכים של פרמטרים n,m הפונקציה:

f(x)=\begin{cases} |x|^{m}\sin\left(\frac{1}{|x|^{n}}\right) & x\neq0\\ 0 & x=0 \end{cases}

רציפה ב-0? גזירה ב-0? גזירה ברציפות ב-0?

קיבלנו את השאלה הנ"ל כש"ב. הצלחתי למצוא אליה רק חצי פתרון.
אני יודע שהפונקציה \sin חסומה לכל n, ולכן כאשר m>0 אז f רציפה ב-0.
אך קיימים עוד מקרים בהם m יכולה להיות גם שלילית עבור n-ים מסוימים,
ואת המקרה הזה אני לא מצליח להראות.
אשמח לעזרה, תודה!

2

לכל t ממשי מתקיים -1\leq\sin(t)\leq 1 ולכן נקבל |\sin t|\leq 1.
אם m>0 אז |f(x)|\leq |x^m| לכל x\in\mathbb{R}. לפיכך, נוכל להסיק כי מתקיים:

\lim_{x\to 0} f(x)=0=f(0)

כלומר הפונקציה f רציפה ב-0 אם m>0.
אם m\leq 0 אז נרצה ש-\sin\left(\frac{1}{|x|^n}\right) ישאף לאפס ב-0. לכן בהכרח מתקיים n<0. סה"כ נקבל:

f(x)=\frac{\sin\left(|x|^{-n}\right)}{|x|^{-m}}\sim \frac{|x|^{-n}}{|x|^{-m}}\sim |x|^{m-n}

כלומר \lim_{x\to 0} f(x)=0 כאשר m>n.
סה"כ נובע כי הפונקציה רציפה בנקודה 0 אם m>0 או n<m\leq 0.

נבדוק עבור אילו ערכים הפונקציה f גזירה בנקודה אפס. ע"פ ההגדרה מתקיים:

\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to 0} |x|^{m-1} \sin\Big(\frac{1}{|x|^n}\Big)

באותו אופן כמו קודם נוכל להסיק כי קיים גבול אם m>1. במקרה זה, הערך של הנגזרת ב-0 היא אפס.

נבדוק עבור אילו ערכים הפונקציה f גזירה ברציפות בנקודה אפס. נניח כי x>0 (עבור x שלילי זה אותו דבר). נשים לב כי מתקיים:

f'(x)= m|x|^{m-1} \sin\Big(\frac{1}{|x|^n}\Big) + |x|^{m} \cos\Big(\frac{1}{|x|^n}\Big)\frac{-n}{|x|^{n+1}}

נרצה לחשב את הגבול כאשר x\to 0. כמו קודם, החלק הראשון של הנגזרת מוגדר כאשר m>1 ובמקרה זה מוביל לאפס. החלק השני יותר מעניין - הוא שואף לאפס רק אם מתקיים m-n-1>0 (נסה להבין למה). סה"כ במקרה זה נקבל כי הפונקציה גזירה ברציפות בנקודה אפס.