שאלה: תהי f\, :\, \mathbb{R} \to \mathbb{R} פונקציה ונניח כי y=2x-1 היא אסימפטוטה משופעת שלה ב-\infty. חשבו את הגבולות הבאים:
\lim_{x\to\infty}\sin\left(\frac{2}{x}\right)f(x)
אשמח לעזרה עם השאלה הזו.
ידוע לי מכך שמתקיים \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x}=2.
כמו כן ידוע שמתקיים \lim_{x\to\infty} (f(x)-2x)=-1.
אך אני לא מצליחה לעשות אף קישור לצורך חישוב הגבול.
למישהו יש רעיון איך לחשב?
תודה רבה!
Zeta
2
היי שרון,
נתון כי לפונקציה f קיימת אסימפטוטה משופעת y=2x-1 באינסוף, לכן מתקיים:
lim_{x\to\infty}(f(x)-(2x-1))=0\Longrightarrow lim_{x\to\infty}(f(x)-2x)=-1
עתה, נגדיר: g(x)=\left(\sin\left(\frac{2}{x}\right)\right)\cdot f(x)-2x\cdot\left(\sin\left(\frac{2}{x}\right)\right).
נחשב את הגבול:
\begin{align*}
lim_{x\to\infty}g(x) & =lim_{x\to\infty}\left[\left(\sin\left(\frac{2}{x}\right)\right)\cdot f(x)-2x\cdot\left(\sin\left(\frac{2}{x}\right)\right)\right] \\
& =lim_{x\to\infty}\left(\sin\left(\frac{2}{x}\right)\right)\cdot(f(x)-2x) \\ & =lim_{x\to\infty}\left(\sin\left(\frac{2}{x}\right)\right)lim_{x\to\infty}(f(x)-2x)=0\cdot(-1)=0
\end{align*}
מאחר ו- lim_{x\to\infty}2x\cdot\left(\sin\left(\frac{2}{x}\right)\right)=4, נוכל להסיק כי מתקיים:
\begin{align*}
lim_{x\to\infty}g(x)=0&
\Leftrightarrow lim_{x\to\infty}\left[\left(\sin\left(\frac{2}{x}\right)\right)\cdot f(x)-2x\cdot\left(\sin\left(\frac{2}{x}\right)\right)\right]=0 \\
& \Leftrightarrow lim_{x\to\infty}\left(\sin\left(\frac{2}{x}\right)\right)\cdot f(x)-4=0 \\
& =lim_{x\to\infty}\left(\sin\left(\frac{2}{x}\right)\right)\cdot f(x)=4
\end{align*}
לייק 1
הוכחה מגניבה ביותר!
תודה רבה