מציאת מספר הפתרונות של פולינום

יהי \alpha >10 ממשי. כמה פתרונות יש למשוואה הבאה:

x^7-\frac{7\alpha}{2}x^2+2=0

לדעתי הפתרון הוא אינסוף מכיוון שהפונקציה הקדומה של הפונקציה הנתונה היא רציפה וגזירה בכל \mathbb{R}. לכן לפי ויירשטראס קיים לה מינימום ומקסימום עבור כל קטע שנבחר לסגור אותה בו, ולכן לפי משפט פרמה קיים ערך שנמצא בכל אחד מהקטעים האלו שהנגזרת מתאפסת בנקודת המקסימום/מינימום. הבעיה היא שהתעלמתי מהתנאי של האלפא ולכן אני לא בטוח שזו התשובה הנכונה (אדגיש שהנושא הוא פונקציות רציפות, נושא של חדו"א א).
תודה מראש לעוזרים.

אני מניח שאתה מדבר על הממשיים ולא על המרוכבים. הדבר הכי נוחה לפתור את התרגיל היא בעזרת שרטוט ולכן אני מציע שתצייר את השרטוט עבור \alpha>10 כלשהו.
נגדיר את הפונקציה f\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R} המוגדרת על-ידי f(x)=x^7-\frac{7\alpha}{2}x^2+2.
אנו מעוניינים למצוא את מספר השורשים של הפולינום הנ"ל, כלומר את מספר נקודות החיתוך עם הציר האופקי. לכל פולינום ממעלה אי-זוגית מעליו יש שורש (ממשי). מאחר והפונקציה f היא בעצם פולינום מדרגה אי-זוגית 7 נובע כי קיים שורש ממשי. כמו כן, הפונקציה הנ"ל רציפה וגזירה לכל x ממשי. נגזור את הפונקציה ונחפש אחר נקודות קיצון:

f'(x)=7x^6-7\alpha x=7x(x^5-\alpha)

נשווה את הנגזרת לאפס ונקבל:

f'(x)=0 \Leftrightarrow 7x(x^5-\alpha)=0\Leftrightarrow x\in\{0,\alpha^{1/5}\}

הנקודה x=0 היא נקודת קיצון מסוג מקסימום והנקודה x=\alpha^{1/5} היא נקודת קיצון מסוג מינימום (משאיר את ההוכחה לך).
עבור x=0 נקבל:

f(0)=0^7-\frac{7\alpha}{2}0^2+2=2

כלומר הנקודה (0,2) היא מקסימום של הפונקציה f.
עבור x=\alpha^{a/5} נקבל:

f(\alpha^{a/5})=(\alpha^{1/5})^7-\frac{7\alpha}{2}(\alpha^{1/5})^2+2=2 - 2.5 \alpha^{7/5}

כלומר הנקודה (\alpha^{a/5},2 - 2.5 \alpha^{7/5}) היא מינימום של הפונקציה.
נשים לב כי לכל \alpha >10 מתתקיים f(\alpha^{a/5})<0.
כמו כן, ע"פ אריתמטיקה של גבולות ומכך שמתקיים \alpha>10 נובע:

\begin{align*} &\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\left(x^{7}-\frac{7\alpha}{2}x^{2}+2\right)=\infty\\&\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\left(x^{7}-\frac{7\alpha}{2}x^{2}+2\right)=-\infty \end{align*}

לכן סה"כ נוכל להסיק כי קיים שורש בתחום x<0, בתחום 0\leq x\leq \alpha^{a/5} ובתחום x>\alpha^{a/5}. סה"כ שלושה שורשים, כלומר למשוואה הנתונה קיימים שלושה פתרונות.
שרטוט של הפונקציה על מערכת צירים כדי שיהיה קל יותר להבין:

image

תודה רבה על הפתרון, אך עדיין לא ברור לי למה נתנו לנו שאלפא גדול מעשר, זה עובד גם לאלפא גדול מ1. מה שמוזר לי הוא שלא פתרנו שום תרגיל בצורה הזו (אני יודע שככה פותרים בתיכון),