חישוב תוחלת בעזרת משפט תוחלת השלמה

[Caroline]

שלום,
נתונה לי השאלה הבאה:
אסיר כלוא בתא עם n דלתות. דלת אחת בלבד מובילה לחופשי, וכל שאר הדלתות מוליכות לצינוק שבו האסיר נאלץ לשהות a_{i} ימים עבור i=2,....n כאשר i היא הדלת שנבחרה (ניתן להגדיר את הדלת הראשונה בתור הדלת שמובילה לחופשי, ואז מתקיים a_{1}=0). האסיר בוחר דלת באקראי בהסתברות שווה לכל הדלתות ועובר דרכה. אם הוא לא בחר בדלת שמובילה לחופשי, אז לאחר השהייה בצינוק ה-i (i \neq 1) הוא חוזר לתא ושוב בוחר בדלת באקראי. האסיר זוכר איזה דלתות הוא כבר בדק. יהי X מ”מ המונה את מספר הימים עד שהאסיר יוצא לחופשי. חשב את התוחלת של X.

הניסיון שלי לפתור:
סימנתי ב Y (מ"מ) שמציין את מספר הדלת שנבחרה ומכאן:

E[X|Y=i]=\begin{cases} 0& \ i=1 \\ E[X]+ a_{i}& i=2,3.....,n \end{cases}

השתמשתי במשפט התוחלת השלמה:

E[X]=E[E[X|Y=i]]=\sum_{i=2}^{n}E[X|Y=i]\cdot P(Y=i)

E[X]=\sum_{i=2}^{n}(E[X|]+ a_{i})\cdot \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n-k}

E[X]=\sum_{i=2}^{n} (a_{i})\cdot \sum_{k=1}^{n-1}(\frac{1}{n-k})+ (n-1)E[X]

התשובה שלי לא יוצאת נכונה כי התוחלת יוצאת שלילית.

התשובה הנכונה היא :

E[X]=\sum_{i=2}^{n} \left(\frac{a_{i}}{n}\right)\cdot \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k-1}{n-1}\right)

אפשר בבקשה עזרה, אני לא מבינה איך הם הגיעו לתשובה הזו.