יהי V מרחב הפולינומים הממשיים ממעלה קטנה או שווה ל-3 ונגדיר T\,:\,V\to V העתקה לינארית על-ידי T\left(f(x)\right)=f'(x)+f(x+1) (f' מסמן נגזרת של f).
יהיו B_1=\{1,x,x^2,x^3\} ו-B_2=\{1,1+x,1+x+x^2,1+x+x^2+x^3\}, שני בסיסים של V.
חשבו את A_1, המטריצה המייצגת את T ביחס לבסיס B_1 וחשבו את Q, מטריצת המעבר בין B_1 ל-B_2.
בעזרת A_1 ו-Q חשבו את A_2, המטריצה המייצגת את T ביחס לבסיס B_2.
פתרתי את השאלה כמו שמבקשים, ויצאו לי המטריצות הבאות:
מטריצה A_1:
A_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\
2 & 1 & 0 & 0\\
1 & 4 & 1 & 0\\
1 & 3 & 6 & 1
\end{pmatrix}
מטריצה Q:
Q=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 0\\
1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
מטריצה Q^{-1}:
Q^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\
-1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}
ואז כדי למצוא את מטריצה A_2, צריך למצוא את מכפלת המטריצות Q^{-1}\cdot A_1:
A_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 3 & 1 & 0\\
0 & -1 & 5 & 1
\end{pmatrix}
למרות זאת, כשאני מנסה למצוא את A_2 בצורה ישירה (כלומר ללא ההצבות, אלא לפי הגדרה), אני מקבל את המטריצה הבאה:
A_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\
3 & 1 & 0 & 0\\
4 & 5 & 1 & 0\\
5 & 8 & 5 & 1
\end{pmatrix}
איפה אני טועה בדרך?