נסמן \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{u}, \overrightarrow{DB}=\overrightarrow{v} וגם \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{w}.
אם \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0} אז \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{w} ולכן \left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)^{2}=\left(\overrightarrow{w}\right)^{2}.
אולם מפה אינני יודע כיצד להמשיך. אשמח לעזרה בבקשה.
הנקודה היחידה שמקיימת את הטענה הנ"ל היא נקודת מרכז המשולש ABC (באנגלית הנקודה נקראת centroid). נגדיר נקודה זו ב-D. כמו כן, נגדיר את הקורדינטות של הוקטורים u, v ו-w ב-(x_1, y_1), (x_2, y_2), ו-(x_3, y_3) בהתאמה (מטעמי פשטות, אפתור את השאלה במערכת צירים עם שני צירים אבל ההוכחה למערכת צירים עם שלושה, זהה).
לכן נקודת מרכז המשולש ABC מקיימת (למה?):
אם כך הדבר, החלק האופקי של כל אחד מהוקטורים הינו \frac{-2x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{x_1-2x_2+x_3}{3}, ו-\frac{x_1+x_2-2x_3}{3} ואילו החלק האנכי של כל אחד מהם הינו \frac{-2y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{y_1-2y_2+y_3}{3}, ו- \frac{y_1+y_2-2y_3}{3}.
סכום הוקטורים הוא סכום הקואורדינטות האופקיות והאנכיות שלהם. סכום החלק האופקי:
סכומים אלה, שניהם אפס. לכן סכום שלושת הוקטורים הנתונים הוא אפס.
נותר רק להראות שזאת הנקודה היחידה שמקיימת את הטענה. לשם כך, בחר נקודה כלשהי ותגיע לסתירה.
מקווה שמובן
איך אתה יכול להשתמש בתכונה הזאת (מרכז המשולש) אם זה מה שמבקשים ממך להוכיח ?
אני מתכוון - ביקשו ממך להוכיח שיש נקודה אחת שמקיימת את התנאי, אז אתה לא צריך להגיע לזה שזאת הנקודה ?
היי @DesmosExpert, זה לא מה שמבקשים ממך להוכיח. מבקשים ממך להוכיח שיש בדיוק נקודה אחת שמקיימת את התנאי. @Gilad פשוט הצביע על הנקודה הזאת במפורש והוכיח שהיא אכן מקיימת את התנאי. אחרי שאתה מראה שקיימת נקודה כזאת אתה צריך להוכיח שהיא הנקודה היחידה שמקיימת את התנאי. לשם כך, אתה צריך לקחת נקודה כלשהי ששונה מנקודת מרכז המשולש ולהגיע לסתירה.
