מציאת נקודות רציפות ואי רציפות של פונקציה

שלום, מבקשים למצוא נקודות רציפות ואי רציפות בפונקציה:

f(x)=\lfloor x\rfloor \tan \left(\frac{\pi x}{2}\right)

מעל הממשיים \mathbb{R}.
כמו כן, ביקשו גם למיין את נקודות האי רציפות, משהו שלא ממש הבנתי מה הם מבקשים.

הסתבכתי עם השאלה. אני יודע שהערך התחתון \lfloor x \rfloor מוגדר לכל x ב-\mathbb{R}, אבל אני הסתבכתי עם הטנגנס ומפה אני לא יודע להמשיך.

תודה מראש! :slight_smile:

פונקציית ערך השלם התחתון \lfloor x\rfloor היא פונקציה רציפה לכל x לא שלם. כמו כן, הפונקציה \frac{\pi x}{2} רציפה לכל x ממשי. הפונקציה \tan x רציפה לכל x ממשי. הפונקציה \tan\left(\frac{\pi x}{2}\right) לא מוגדרת כאשר x הוא שלם אי-זוגי. לכן, ע"פ הרכבת פונקציות נובע כי הפונקציה \tan\left(\frac{\pi x}{2}\right) רציפה לכל x שלם אי-זוגי (עבור שאר הערכים היא לא מוגדרת ולכן כמובן אינה רציפה).
לכן ע"פ מכפלת פונקציות נובע כי הפונקציה \lfloor x\rfloor \tan\left(\frac{\pi x}{2}\right) רציפה לכל x לא שלם.
כעת, נבדוק מה קורה בנקודות x\in\mathbb{Z}.
יהי y נקודה שלמה כלשהי. אם y זוגי אזי קיים n שלם כך שמתקיים y=2n.
לכן נקבל:

f(y)=\lfloor y\rfloor \tan\left(\frac{\pi y}{2}\right)=\lfloor 2n\rfloor \tan\left(\frac{\pi (2n)}{2}\right)=2n\tan(\pi n)=0

נחשב את הגבולות מצד ימין ומצד שמאל של הנקודה x=y. מצד אחד, אם מתקיים 2n-1<x<2n אזי מתכונות הערך השלם התחתון נובע \lfloor x\rfloor =2n-1. לכן נקבל:

\lim_{x\to y^{-}} f(x)=\lim_{x\to y^{-}} (2n-1)\tan \left(\frac{\pi (2n-1)}{2}\right)=(2n-1)\cdot 0=0

מצד שני, אם מתקיים 2n<x<2n+1 אזי מתכונות הערך השלם התחתון נובע \lfloor x\rfloor =2n. לכן נקבל:

\lim_{x\to y^{+}} f(x)=\lim_{x\to y^{+}} 2n\tan \left(\frac{\pi (2n)}{2}\right)=2n\cdot 0=0

קיבלנו \lim_{x\to y^{-}} f(x)=0 וגם \lim_{x\to y^{+}} f(x)=0 ולכן \lim_{x\to y} f(x)=0. קיבלנו כי הפונקציה f(x) רציפה לכל x שלם זוגי.
אם y אי-זוגי אזי קיים n שלם כך שמתקיים y=2n-1. הפונקציה f אינה מוגדרת בנקודות אלה ולכן בהכרח אינה רציפה בהם. ביקשו למיין את נקודות האי-רציפות ולכן נמצא את סוג האי-רציפות כאשר y אי-זוגי. נחשב את הגבולות מצד ימין ומצד שמאל של הנקודה x=y. נשים לב כי מתקיים:

\lim_{x\to y^{-}}\lfloor x\rfloor =\lim_{x\to y^{-}}\lfloor 2n+1\rfloor =2n

כמו כן, מתקיים \lim_{x\to y^{-}}\tan\left(\frac{\pi x}{2}\right)=\infty.
נחקור את 2n. אם 2n>0 אז נקבל \lim_{x\to y^{-}}f(x)=\infty ולכן מדובר באי-רציפות ממין שני. אם 2n<0 אז \lim_{x\to y^{-}}f(x)=-\infty ולכן מדובר באי-רציפות ממין שני. אם 2n=0 אז y=1 ולכן \lim_{x\to 1}f(x)=-\infty וגם כאן מדובר באי-רציפות ממין שני.
סה"כ קיבלנו כי הפונקציה f(x) רציפה לכל x ממשי מלבד הנקודות האי-זוגיות (שהם נקודות אי-רציפות ממין שני).
בהצלחה.