הוכחת קיום תכונות של צמתים וקשתות בגרף קשיר

הוכיחו כי בגרף קשיר בעל x קשתות ו-y צמתים מתקיים:

\frac{y(y+1)}{2}\geq x\geq y-1

אני צריך עזרה בשאלה הזאת. אשמח לעזרה.
תודה רבה.

הרעיון בפורום SolX הוא להכיוון אותך אל פתרון השאלה. אם לא תראה מה ניסית לעשות או לפחות איזה כלים עומדים ברשותך, לא נוכל לעזור לך בצורה הטובה ביותר. אפתור את התרגיל הפעם, אולם אשמח אם בפעם הבאה תסביר כיצד ניסית לגשת לשאלה ולמה זה לא עבד.

נוכיח כי גרף קשיר G, בעל x קשתות ו-y צמתים מקיים:

y-1\leq x\leq \frac{y(y-1)}{2}

תחילה נראה כי לכל גרף קשיר G מתקיים y-1\leq x.
אם גרף G עץ אז מאחר והוא בעל y צמתים נובע כי הוא מכיל y-1 קשתות. נתון כי גרף G מכיל x קשתות ולכן מתקיים y-1\leq x (במקרה זה שוויון).
אם גרף G לא עץ אז בהכרח יש לו עץ פורש T בעל z קשתות ו-y צמתים, כך שמתקיים z=y-1. כדי להגיע מגרף G לעץ הפורש שלו T, עלינו להוריד קשתות מ-x כדי להגיע ל-z. לכן בהכרח, נוכל להסיק כי מתקיים y-1=z\leq x.
הוכחנו כי לכל גרף קשיר G עם x קשתות ו-y צמתים מתקיים y-1\leq x.
כעת נראה כי לכל גרף קשיר G מתקיים x\leq \frac{y(y-1)}{2}. אם G גרף מלא אז מאחר והוא מכיל y קשתות נובע כי מתקיים:

x\leq {y \choose 2}=\frac{y!}{(y-2)!2!}=\frac{y(y-1)}{2}

אם גרף G אינו גרף מלא אז נמשיך להוסיף קשתות לגרף G עד שנקבל גרף מלא K עם z קשתות. הוספנו קשתות ל-x וקיבלנו z ולכן x\leq z. כמו שכבר ראינו, בגרף מלא K עם y צמתים יש z=\frac{y(y-1)}{2} קשתות ולכן x\leq z=\frac{y(y-1)}{2}.
בסה"כ נקבל:

y-1\leq x\leq \frac{y(y-1)}{2}

כנדרש.