נתונה הפונקציה הבאה:
f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-\frac{1}{2}\sin(x)-\cos(x)}{\arctan(x^2)\sin(\frac{\pi}{3}\cos(x))}
אני מנסה לחשב את הגבול \lim_{x\to0}f(x).
אשמח להכוונה, כיצד עלי לגשת לשאלה כדי למצוא את הגבול של הפונקציה.
תודה רבה 
בעקרון, הייתי משתמש בטור מקלורן כדי לפתור את השאלה אבל לא ציינת מה ניסית לעשות או איפה נתקעת לכן אני לא יודע באיזה כלים אתה מורשה להשתמש. לפיכך, אשתמש בכלל לופיטל. נגדיר את הפונקציות הבאות:
g(x)=\frac{\sqrt{1+x}-\frac{1}{2}\sin(x)-\cos(x)}{\arctan(x^2)},\,\,\,h(x)=\sin\left(\frac{\pi}{3}\cos(x)\right)
קודם כל, נשים לב כי מתקיים:
\lim_{x\to0}h(x)=\lim_{x\to0}\sin\left(\frac{\pi}{3}\cos(x)\right)=\sin\left(\frac{\pi}{3}\cos(0)\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}
כמו כן, נשתמש בכלל לופיטל כדי לחשב את הגבול הבא:
\begin{align*}
\lim_{x\to0}g(x)&=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-\frac{1}{2}\sin(x)-\cos(x)}{\arctan(x^{2})}\\&=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}-\frac{1}{2}\cos(x)+\sin(x)}{\frac{2x}{x^{4}+1}}\\&=\lim_{x\to0}\frac{(x^{4}+1)\left(\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+\sin(x)-\frac{1}{2}\cos(x)\right)}{2x}\\&=\frac{1}{2}\lim_{x\to0}(x^{4}+1)\left(\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2}\cos(x)}{x}+\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}\right)
\end{align*}
הגבול \lim_{x\to0}(x^{4}+1) הוא כמובן שווה ל-1. כמו כן, הגבול \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x} שווה ל-1.
נמצא את הגבול הנותר, שוב בעזרת כלל לופיטל:
\begin{align*}
\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2}\cos(x)}{x}&=\frac{1}{2}\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\cos(x)}{x}=\frac{1}{2}\lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{2(x+1)^{1.5}}+\sin(x)}{1}\\&=\frac{1}{2}\lim_{x\to0}\left(-\frac{1}{2(x+1)^{1.5}}+\sin(x)\right)=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2(0+1)^{1.5}}+\sin(0)\right)\\&=\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}+0\right)=-\frac{1}{4}
\end{align*}
נציב הכל, כך שנקבל:
\lim_{x\to0}g(x)=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\left(-\frac{1}{4}+1\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8}
סה"כ נקבל:
\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}g(x)\cdot\lim_{x\to0}\frac{1}{h(x)}=\frac{3}{8}\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{-1}=\frac{\sqrt{3}}{4}