האם כל פונקציה רציפה היא בהכרח פונקציה גזירה?

שלום לכולם,
לא מזמן נתקלתי במשפט שטוען שאם פונקציה גזירה אז היא בהכרח רציפה.
אולם האם ההפך נכון? כלומר, האם כל פונקציה רציפה היא בהכרח פונקציה גזירה?
לא הצלחתי לחשוב על דוגמה נגדית שסותרת את הטענה.
תודה רבה!

אתה צודק שגזירות בנקודה גוררת רציפות בה. נוכיח את הטענה למען הסדר הטוב.
טענה: אם f פונקציה גזירה בנקודה a , אז היא רציפה בנקודה a.
הוכחה: עלינו להראות כי מתקיים \lim_{x\to a}f(x)=f(a).
נעשה זאת על-ידי כך שנראה כי ההפרש f(x)-f(a) שואף לאפס.
על-פי אריתמטיקה של גבולות והגדרת הגזירות נוכל להסיק כי מתקיים:

\begin{align*} \lim_{x\to a}\Big[f(x)-f(a)\Big]&=\lim_{x\to a}\Big[f(x)-f(a)\Big]\cdot\lim_{x\to a}\frac{x-a}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)\\&=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot\lim_{x\to a}(x-a)=f'(a)\cdot0=0 \end{align*}

לכן נקבל:

\begin{align*} \lim_{x\to a}f(x)&=\lim_{x\to a}\Big[f(a)+\bigl(f(x)-f(a)\big)\Bigr]\\&=\lim_{x\to a}f(a)+\lim_{x\to a}\Big[f(x)-f(a)\Big]=f(a)+0=f(a) \end{align*}

אולם הטענה ההפוכה אינה נכונה. כלומר לא כל פונקציה רציפה היא גם גזירה.
כך לדוגמה, פונקציית הערך המוחלט רציפה בנקודה x=0 אך אינה גזירה שם, שכן הנגזרת מימין והנגזרת משמאל שונות זו מזו.
למעשה, רוב הפונקציות הרציפות השימושיות גזירות כמעט בכל נקודה. אולם, קארל ויירשטראס (מתמטיקאי גרמני) גילה (כנראה) לראשונה פונקציה רציפה שאינה גזירה באף נקודה - פונקציית ויירשטראס. הפונקציה מוגדרת באופן הבא:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a^n\cos(b^n\pi x)

כאשר 0<a<1 ו-b שלם אי-זוגי כך שעבורם מתקיים ab>1+1.5\pi.
קל לראות שהפונקציה רציפה, משום שהטור מתכנס במידה שווה. אולם, ההוכחה שהפונקציה אינה גזירה באף נקודה מורכבת יותר.
מקווה שמובן, בהצלחה :slight_smile: