חשבו את ערכי הביטויים שמשמאל וקבלו את התוצאה מימן.
המשוואה הנתונה:
\log_{6}(3)\log_{15}(30)+\log_{6}(5)\log_{15}(2)=1
כיצד עלי לפתור את השאלה?
אני מניח שהשאלה לא סתם מסומנת בכוכב בגלל הקושי לפתור אותה.
תודה רבה על כל העזרה!
קודם כל, נשתמש בחוק הלוגריתמי הבא כדי לעבור לבסיס 15. עבור m>0 שונה מ-1:
\log_a(x)=\frac{\log_m(x)}{\log_m(a)}
לאחר מכאן, נשתמש בכלל נוסף של חוקי הלוגריתם:
\log_a(x\cdot y)=\log_a(x)+\log_a(y)
סה"כ נקבל:
\begin{align*}
\log_{6}(3)\log_{15}(30)+\log_{6}(5)\log_{15}(2)&=\frac{\log_{15}(3)}{\log_{15}(6)}\cdot\log_{15}(30)+\frac{\log_{15}(5)}{\log_{15}(6)}\cdot\log_{15}(2)\\&=\frac{\log_{15}(3)\log_{15}(30)+\log_{15}(5)\log_{15}(2)}{\log_{15}(6)}\\&=\frac{\log_{15}(3)\left(\log_{15}(15)+\log_{15}(2)\right)+\log_{15}(5)\log_{15}(2)}{\log_{15}(6)}\\&=\frac{\log_{15}(3)\left(1+\log_{15}(2)\right)+\log_{15}(5)\log_{15}(2)}{\log_{15}(6)}\\&=\frac{\log_{15}(3)+\log_{15}(2)\left(\log_{3}(3)+\log_{15}(5)\right)}{\log_{15}(6)}\\&=\frac{\log_{15}(3)+\log_{15}(2)\log_{15}(15)}{\log_{15}(6)}\\&=\frac{\log_{15}(3)+\log_{15}(2)}{\log_{15}(6)}=\frac{\log_{15}(6)}{\log_{15}(6)}=1
\end{align*}
כך קיבלנו כי השוויון שווה ל-1, כנדרש.