בדיקת התכנסות של טור מורכב

מתמטיקה
1

שלום לכולם, אני מנסה לבדוק האם הטור הבא מתכנס או מתבדר:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4\sqrt{n}}\frac{(16n-4)}{\sqrt{16n+64}}

ניסיתי להשתמש במבחן לייבניץ - הפרדתי לשני טורים, כאשר בדקתי לכל טור בנפרד האם הגבול שואף לאפס והאם הפונקציה מונוטונית יורדת. יצא לי ששניהם עונים על משפט לייבניץ ולכן הטור מתכנס. האם נכון?

2

תנאי הכרחי להתכנסות טורים לאפס כאשר n שואף לאינסוף. כלומר, בהינתן הטור \sum a_n, אם מתקיים \lim_{n\to\infty}a_n\neq0 אז בהכרח הטור מתבדר.
כך לדוגמה, הטור \sum_{n=1}^{\infty}\cos\left(\frac{1}{n}\right) הוא טור מתבדר מכיוון שהאיבר הכללי שלו אינו מתכנס לאפס.
לכן הדבר הראשון שעלייך לבדוק הוא האם הסדרה מתכנסת לאפס.
נשים לב כי מתקיים:

\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1} {{4\sqrt n }}\frac{{16n - 4}} {{\sqrt {16n + 64} }} = 1

ולכן בהכרח הגבול הבא:

\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } a_n = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - 1} \right)^n \frac{1} {{4\sqrt n }}\frac{{16n - 4}} {{\sqrt {16n + 64} }}

לא קיים. לפיכך נוכל להסיק כי הטור הנתון \sum a_n מתבדר.