הוכחה שקבוצה היא תת מרחב של מרחב וקטורי

מתמטיקה
1

תהא S קבוצה ויהי V המרחב הוקטורי (מעל השדה \mathbb{F}) של כל הפונקציות f\,:\,S\to \mathbb{F}.
נקבע n איברים s_1,\ldots,s_n\in S ו-n סקלרים a_1,\ldots,a_n\in \mathbb{F}.
הוכיחו כי הקבוצה הבאה:

A=\{f\in V\,:\,a_1\cdot f(s_1)+\ldots+a_n\cdot f(s_n)=0\}

מהווה תת מרחב של המרחב הוקטורי V.

אני יודע איך להוכיח תת מרחב אבל יש כאן משהו שמבלבל אותי, מה זה אומר שהצירוף בקבוצה שווה לאפס? זה אומר שאפס תמיד שייך לקבוצה בעצם, לא משנה מה מציבים?
אשמח להכוונה, תודה רבה :slight_smile:

2

לא בדיוק. המרחב V מכיל את כל הפונקציות f\,:\, S\to \mathbb{F}, כלומר כל הפונקציות שהתמונה שלהם היא סקלר השייך לשדה \mathbb{F}. כל איבר בקבוצה A הוא פונקציה במרחב V כך שמתקיים:

a_1\cdot f(s_1)+\ldots+a_n\cdot f(s_n)=0

כלומר קיימת פונקציה f ב-V כך שאם נציב בה את האיברים s_1,\ldots,s_n, נכפול בסקלרים a_1,\ldots,a_n ונסכום נקבל אפס.

כדי לבדוק שקבוצה A של המרחב הווקטורי V מעל השדה \mathbb{F} מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:

  • קבוצה A אינה ריקה. כלומר קיים v\in V המקיים v\in A.
  • קבוצה A סגורה ביחס לחיבור. כלומר לכל u,v\in A מתקיים u+v\in W.
  • קבוצה A סגורה ביחס לכפל בסקלר. כלומר לכל v\in A ו-\lambda\in\mathbb{F} מתקיים \lambda \cdot v\in A.

נבדוק כל תנאי לפי הסדר. תחילה נוכיח כי הקבוצה A אינה ריקה. לשם כך נגדיר את הפונקציה g\,:\, S\to \mathbb{F} המוגדרת על-ידי g(x)=0. פונקציה זו מעבירה כל איבר ב-S לאיבר האדיש של \mathbb{F} (בהכרח יש כזה כי מדובר בשדה). לכן נקבל:

a_1\cdot g(s_1)+\ldots+a_n\cdot g(s_n)=a_1\cdot 0+\ldots+a_n\cdot 0=0

הפונקציה g מקיימת את התנאי של הקבוצה A ולכן g\in A. לפיכך נובע כי הקבוצה A אינה ריקה.
נראה כי הקבוצה A סגורה ביחס לחיבור. יהיו g,h שתי פונקציות ב-A. נראה כי הפונקציה g+h גם היא נמצאת ב-A. אם g\in A אזי מתקיים:

\sum_{i=1}^{n}a_{i}\left(g(s_{i})\right)=a_1\cdot g(s_1)+\ldots+a_n\cdot g(s_n)=0

כמו כן, אם h\in A אזי מתקיים:

\sum_{i=1}^{n}a_{i}\left(h(s_{i})\right)=a_1\cdot h(s_1)+\ldots+a_n\cdot h(s_n)=0

לכן, נוכל להסיק כי מתקיים:

\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}a_{i}\left((g+h)(s_{i})\right)&=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\left(g(s_{i})\right)+\sum_{i=1}^{n}a_{i}\left(h(s_{i})\right)\\&=0+0=0 \end{align*}

לכן ע"פ ההגדרה של הקבוצה A נובע g+h\in A. אי-לכך A סגורה ביחס לחיבור.
נוכיח כי A סגורה ביחס לכפל בסקלר. יהי g\in A ו-\lambda\in\mathbb{F} סקלר כלשהו. נוכיח כי \lambda \cdot g נמצא ב-A. אם g\in A אזי מתקיים:

\sum_{i=1}^{n}a_{i}\left(g(s_{i})\right)=a_1\cdot g(s_1)+\ldots+a_n\cdot g(s_n)=0

לכן, נוכל להסיק כי מתקיים:

\sum_{i=1}^{n}a_{i}\left((\lambda g)(s_{i})\right)=\lambda\sum_{i=1}^{n}a_{i}\left(g(s_{i})\right)=\lambda\cdot0=0

לכן ע"פ ההגדרה של הקבוצה A נובע \lambda \cdot g\in A. אי-לכך A סגורה ביחס לכפל בסקלר.
הראנו כי הקבוצה A מקיימת את כל התנאים ולכן היא מהווה תת-מרחב של המרחב הוקטורי V.