הוכחה שקבוצה היא תת מרחב של מרחב וקטורי

מתמטיקה
2

לא בדיוק. המרחב V מכיל את כל הפונקציות f\,:\, S\to \mathbb{F}, כלומר כל הפונקציות שהתמונה שלהם היא סקלר השייך לשדה \mathbb{F}. כל איבר בקבוצה A הוא פונקציה במרחב V כך שמתקיים:

a_1\cdot f(s_1)+\ldots+a_n\cdot f(s_n)=0

כלומר קיימת פונקציה f ב-V כך שאם נציב בה את האיברים s_1,\ldots,s_n, נכפול בסקלרים a_1,\ldots,a_n ונסכום נקבל אפס.

כדי לבדוק שקבוצה A של המרחב הווקטורי V מעל השדה \mathbb{F} מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:

  • קבוצה A אינה ריקה. כלומר קיים v\in V המקיים v\in A.
  • קבוצה A סגורה ביחס לחיבור. כלומר לכל u,v\in A מתקיים u+v\in W.
  • קבוצה A סגורה ביחס לכפל בסקלר. כלומר לכל v\in A ו-\lambda\in\mathbb{F} מתקיים \lambda \cdot v\in A.

נבדוק כל תנאי לפי הסדר. תחילה נוכיח כי הקבוצה A אינה ריקה. לשם כך נגדיר את הפונקציה g\,:\, S\to \mathbb{F} המוגדרת על-ידי g(x)=0. פונקציה זו מעבירה כל איבר ב-S לאיבר האדיש של \mathbb{F} (בהכרח יש כזה כי מדובר בשדה). לכן נקבל:

a_1\cdot g(s_1)+\ldots+a_n\cdot g(s_n)=a_1\cdot 0+\ldots+a_n\cdot 0=0

הפונקציה g מקיימת את התנאי של הקבוצה A ולכן g\in A. לפיכך נובע כי הקבוצה A אינה ריקה.
נראה כי הקבוצה A סגורה ביחס לחיבור. יהיו g,h שתי פונקציות ב-A. נראה כי הפונקציה g+h גם היא נמצאת ב-A. אם g\in A אזי מתקיים:

\sum_{i=1}^{n}a_{i}\left(g(s_{i})\right)=a_1\cdot g(s_1)+\ldots+a_n\cdot g(s_n)=0

כמו כן, אם h\in A אזי מתקיים:

\sum_{i=1}^{n}a_{i}\left(h(s_{i})\right)=a_1\cdot h(s_1)+\ldots+a_n\cdot h(s_n)=0

לכן, נוכל להסיק כי מתקיים:

\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}a_{i}\left((g+h)(s_{i})\right)&=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\left(g(s_{i})\right)+\sum_{i=1}^{n}a_{i}\left(h(s_{i})\right)\\&=0+0=0 \end{align*}

לכן ע"פ ההגדרה של הקבוצה A נובע g+h\in A. אי-לכך A סגורה ביחס לחיבור.
נוכיח כי A סגורה ביחס לכפל בסקלר. יהי g\in A ו-\lambda\in\mathbb{F} סקלר כלשהו. נוכיח כי \lambda \cdot g נמצא ב-A. אם g\in A אזי מתקיים:

\sum_{i=1}^{n}a_{i}\left(g(s_{i})\right)=a_1\cdot g(s_1)+\ldots+a_n\cdot g(s_n)=0

לכן, נוכל להסיק כי מתקיים:

\sum_{i=1}^{n}a_{i}\left((\lambda g)(s_{i})\right)=\lambda\sum_{i=1}^{n}a_{i}\left(g(s_{i})\right)=\lambda\cdot0=0

לכן ע"פ ההגדרה של הקבוצה A נובע \lambda \cdot g\in A. אי-לכך A סגורה ביחס לכפל בסקלר.
הראנו כי הקבוצה A מקיימת את כל התנאים ולכן היא מהווה תת-מרחב של המרחב הוקטורי V.