פתירת אינטגל כפול בעזרת יעקוביאן

[Ben]

בהינתן התחום D = \{ 1 \leq x+y \leq 2 , y+1 \leq x \leq 3y+1 \}, אני מנסה לפתור את האינטגרל הכפול הבא:

\int \int \limits_D \frac{x+y-1}{y^2 } e^{\frac{x-1}{y}}

ניסיתי להשתמש בהחלפות u=x+y ו- v = \frac{x-1}{y} והגעתי לאינטגרל \int \limits_{1}^{2} du \int \limits_{1}^{3} v e^v dv = 3e^3-e אבל התשובה אמורה להיות e^3-e. איפה הטעות?

[Gilad]

נבצע את ההחלפות:

\begin{cases}u=x+y\\ v = \frac{x-1}{y} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\frac{1+uv}{1+v}\\ y=\frac{u-1}{1+v}\end{cases}

נשתמש ביעקוביאן כך שנקבל:

\begin{vmatrix}x_u& x_v\\ y_u&y_v\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac{v}{1+v}& \frac{u-1}{(1+v)^2}\\ \frac1{1+v}&\frac{1-u}{(1+v)^2}\end{vmatrix}=\frac{1-u}{(1+v)^2}

לכן, נוכל להסיק כי מתקיים:

\begin{align*} \int\int\limits _{D}\frac{x+y-1}{y^{2}}e^{\frac{x-1}{y}}&=\int\limits _{1}^{3}\int\limits _{1}^{2}\frac{u-1}{\left(\frac{u-1}{1+v}\right)^{2}}e^{v}\cdot\frac{1-u}{(1+v)^{2}}dudv\\&=\int\limits _{1}^{3}\int\limits _{1}^{2}e^{v}dudv=\int\limits _{1}^{3}e^{v}dv=e^{3}-e \end{align*}

כמו כן, שים לב כי מתקיים:

\int\limits _{1}^{2}du\int\limits _{1}^{3}ve^{v}dv=\int\limits _{1}^{2}\left[ve^{v}|_{1}^{3}-\int\limits _{1}^{3}e^{v}dv\right]du=\int\limits _{1}^{2}2e^{3}du=2e^{3}

מקווה שמובן, בהצלחה