חישוב סטית תקן של ההוצאה החודשית

[marbd]

חשבו, עבור משפחה מסוימת, את ההוצאה החודשית שלה במשך 11 חודשים ומצאו כי הממוצע 2850 דולר עם סטית תקן של 120 דולר. לאחר מכאן הוסיפו לחישובים את ההוצאה של חודש נוסף (החודש ה-12) והסתבר כי הממוצע לא השתנה.
מהי סטית התקן של ההוצאה החודשית במשפחה זו בכל 12 החודשים?

שלום לכולם, אשמח לעזרה עם השאלה הנ"ל.
כיצד עלי לפתור אותה?

[Gilad]

קודם כל, ננסה להבין מה הן ההוצאות של החודש הנוסף. נתון כי הוסיפו לחישובים את ההוצאה של החודש הנוסף והסתבר כי הממוצע לא השתנה. לכן הוצאות בחודש החדש היו כמו בממוצע ב-11 החודשים הראשונים, וזאת מכיוון שאם יהיה בחודש זה ערך יותר גבוהה מהממוצע, הוא יעלה את הממוצע ואם יהיה ערך נמוך יותר, הוא יוריד את הממוצע, לכן ההוצאות בחודש ה-12 הוא גם 2850 דולר.
עתה נתבונן על סטיית התקן. ידוע כי סטיית התקן של הנתונים x_1,\ldots,x_n הינה:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}

כאשר \overline{x} הוא הממוצע.
לכן, סטיית התקן הישנה הינה (נתון כי סטיית התקן עומדת על 120 דולר):

\sigma_{old} = \sqrt{\frac{1}{11} \sum_{i=1}^{11} (x_i - \overline{x})^2}=120

עתה, נתבונן על סטיית התקן החדשה:

\sigma_{new} = \sqrt{\frac{1}{12} \sum_{i=1}^{12} (x_i - \overline{x})^2}

אנו מעוניינים לחשב את \sigma_{new}. נשים לב כי עבור 12 החודשים, באיבר האחרון בסכום, לא ישתנה כלום במונה כי הערך האחרון שווה לממוצע וההפרש המתקבל שם הוא אפס. לכן נקבל:

\sum_{i=1}^{12} (x_i - \overline{x})^2= \sum_{i=1}^{11} (x_i - \overline{x})^2=S

נכפול את המשוואה \sqrt{\frac{1}{11}S}=120 ב-\sqrt{\frac{1}{12}} כך שנקבל:

\begin{align*} \sqrt{\frac{1}{11}S}\cdot\sqrt{\frac{1}{12}}=\sqrt{\frac{1}{12}}120&\Leftrightarrow\sqrt{\frac{1}{12}S}\cdot\sqrt{\frac{1}{11}}=\sqrt{\frac{1}{12}}120\\&\Leftrightarrow\sigma_{new}=\frac{120\cdot11^{0.5}}{12^{0.5}}=114.89 \end{align*}

כלומר סטיית התקן החדשה עבור 12 החודשים הינה 114.89.

[marbd]

תודה רבה על העזרה עם התרגיל הזה!