הוכחת קיום תנאי הסימטריות של מכפלה פנימית

מתמטיקה
1

יהי V=\mathbb{R}^n ותהא A\in\mathbb{R}^{n\times n}.
נגדיר פונקציה \langle v,u\rangle =(Av)^{t}Au עבור V=\mathbb{R}^3 והמטריצה הבאה:

A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

הראו כי הפונקציה המוגדרת להעיל היא מכפלה פנימית.

אשמח לעזרה כיצד להראות את תנאי הסימטריות של המכפלה הפנימית.

2

נרצה להוכיח את תנאי ההרמיטיות, כלומר נראה כי מתקיים \langle v,u\rangle =\overline{\langle u,v\rangle}. ב-\mathbb{R} מתקיים x=\bar{x} ולכן צריך להראות \langle v,u\rangle =\langle u,v\rangle. נשים לב כי \langle v,u\rangle הוא סקלר ולכן \langle v,u\rangle=\langle v,u\rangle^t. לכן נקבל:

\langle v,u\rangle=\langle v,u\rangle^{t}=\left((Av)^{t}Au\right)^{t}=u^{t}A^{t}Av=(Au)^{t}Av=\langle u,v\rangle

לכן הפונקציה המוגדרת להעיל מקיימת את תנאי הרמיטיות, כנדרש.

3

איך אתה יודע שזה סקלר?

4

היי @mottybar, מכפלה פנימית של שני וקטורים צריכה להחזיר ערך כלשהו ב-\mathbb{R}. אפשר לבדוק את זה עבור המכפלה הפנימית הנתונה לך.
יהי v\in\mathbb{R}^n. לכן הסדר של v הוא n\times 1 (n שורות ועמודה אחת). תהא A\in\mathbb{R}^{n\times n} מטריצה. לכן הסדר של A הוא n\times n. כידוע, מכפלה של שתי מטריצות מסדר a\times b ו-b\times c היא מטריצה מסדר a\times c. על-ידי כלל זה, נוכל להסיק כי Au ו-Av הם מסדר:

(n\times n)(n\times 1)=n\times 1

לכן, המכפלה (Av)^tAu היא מסדר:

(n\times n)^t(n\times 1)=(1\times n)(n\times 1)=1\times 1

כלומר קיבלנו סקלר.