היי, אשמח בבקשה לעזרה בהוכחת משפט סכום של גבולות:
יהיו f,g שתי פונקציות כך שהגבול של הפונקציה f(x) בנקודה x_0 הוא L_1 והגבול של הפונקציה g(x) בנקודה x_0 הוא L_2. הוכיחו שהגבול של סכום הפונקציות f(x)+g(x) בנקודה x_0 הוא L_1+L_2. באופן פורמלי:
נתון שהגבול של הפונקציה f(x) בנקודה x_0 הוא L_1 ולכן קיים \delta_1>0 כך שלכל 0<|x-a|<\delta_1 מתקיים \Big|f(x)-L_1\Big|<\frac{\varepsilon}{2}.
באותו אופן, נתון שהגבול של הפונקציה g(x) בנקודה x_0 הוא L_2 ולכן קיים \delta_2>0 כך שלכל 0<|x-a|<\delta_2 מתקיים \Big|f(x)-L_2\Big|<\frac{\varepsilon}{2}.
נבחר \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. לפיכך אם 0<|x-a|<\delta אז מתקיים 0<|x-a|<\delta_1 וגם 0<|x-a|<\delta_2, כך שמתקיים \bigg|f(x)-L_1\bigg|<\frac{\varepsilon}{2} וגם \bigg|g(x)-L_2\bigg|<\frac{\varepsilon}{2}.
לפיכך נקבל: