הוכחת משפט סכום גבולות (אריתמטיקה של גבולות)

היי, אשמח בבקשה לעזרה בהוכחת משפט סכום של גבולות:
יהיו f,g שתי פונקציות כך שהגבול של הפונקציה f(x) בנקודה x_0 הוא L_1 והגבול של הפונקציה g(x) בנקודה x_0 הוא L_2. הוכיחו שהגבול של סכום הפונקציות f(x)+g(x) בנקודה x_0 הוא L_1+L_2. באופן פורמלי:

\lim_{x\to x_0}f(x)=L_1,\lim_{x\to x_0}g(x)=L_2 \Rightarrow \lim_{x\to x_0}\left(f(x)+g(x)\right)=L_1+L_2

תודה רבה.

יהי \varepsilon>0. נוכיח שקיים \delta>0 כך שלכל 0 <|x-a|<\delta מתקיים:

\bigg|f(x)+g(x)-(L_1+L_2)\bigg|<\varepsilon

ע"פ אי-שוויון המשולש, נוכל להסיק כי מתקיים:

\begin{align*} \bigg|f(x)+g(x)-(L_1+L_2)\bigg|&=\bigg|f(x)-L_1+ g(x)-L_2\bigg| \\& \le \Big|f(x)-L_1\Big|+\Big|g(x)-L_2\Big| \end{align*}

נתון שהגבול של הפונקציה f(x) בנקודה x_0 הוא L_1 ולכן קיים \delta_1>0 כך שלכל 0<|x-a|<\delta_1 מתקיים \Big|f(x)-L_1\Big|<\frac{\varepsilon}{2}.
באותו אופן, נתון שהגבול של הפונקציה g(x) בנקודה x_0 הוא L_2 ולכן קיים \delta_2>0 כך שלכל 0<|x-a|<\delta_2 מתקיים \Big|f(x)-L_2\Big|<\frac{\varepsilon}{2}.
נבחר \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. לפיכך אם 0<|x-a|<\delta אז מתקיים 0<|x-a|<\delta_1 וגם 0<|x-a|<\delta_2, כך שמתקיים \bigg|f(x)-L_1\bigg|<\frac{\varepsilon}{2} וגם \bigg|g(x)-L_2\bigg|<\frac{\varepsilon}{2}.
לפיכך נקבל:

\begin{align*} \bigg|f(x)+g(x)-(L_1+L_2)\bigg|& \le \Big|f(x)-L_1\Big|+\Big|g(x)-L_2\big|\\ &< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{align*}

כלומר הוכחנו ע"פ ההגדרה כי מתקיים:

\lim_{x\to x_0}\left(f(x)+g(x)\right)=L_1+L_2

כנדרש.