שלום לכולם, אני מנסה לפתור את המשוואה הבאה עם נעלם אחד:
\sqrt[3]{3+x}+\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{3+8x}
אשמח להכוונה כיצד לפתור את התרגיל.
תודה רבה!
נתונה המשוואה הבאה:
\sqrt[3]{3+x}+\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{3+8x}
תחילה, נשים לב כי x=0 הוא פתרון המשוואה שכן מתקיים:
L=\sqrt[3]{3+0}+\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{3+8\cdot 0}=R
כעת נבדוק עבור x\neq 0. נחלק צידי המשוואה ב-\sqrt[3]{x} כך שנקבל:
\sqrt[3]{\frac{3}{x}+1}+1=\sqrt[3]{8+\frac{3}{x}}
נסמן y=\frac{3}{x}, כך שנקבל:
1+\sqrt[3]{y+1} = \sqrt[3]{8+y}
נעלה בריבוע ונפתח סוגריים כך שנקבל:
1+3\sqrt[3]{1+y}+3\sqrt[3]{1+y}^2+1+y = 8+y
נעביר אגפים ונחלק ב-3 כך שנקבל:
\sqrt[3]{1+y}+\sqrt[3]{1+y}^2 = 2
נסמן z=\sqrt[3]{1+y} ונקבל את המשוואה z^2+z=2. נבצע השלמה לריבוע כך שנקבל:
\left(z+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{9}{4}
כלומר, נוכל להסיק כי מתקיים:
z+\frac{1}{2}=\pm\frac{3}{2} \Rightarrow \sqrt[3]{1+y}=z=\frac{-1\pm 3}{2}
לכן נקבל y=0 או y=9. לא קיים x ממשי עבורו מתקיים 0=\frac{3}{x}. אם y=9 אז נקבל 9=\frac{3}{x} ולכן x=\frac{1}{3}. סה"כ קיבלנו כי למשוואה קיימים שני פתרונות x_1=0 ו-x_2=\frac{1}{3}.