חישוב של גבול מורכב בעזרת משפט לופיטל

[Ben]

נניח כי a,b\in\mathbb{R} ו-|b|<2.
א. הוכח שקיימת נקודה x_0\in\mathbb{R} כך שמתקיים x_0=a+b\sin\left(\frac{x_0}{2}\right).
ב. הוכח כי המספר x_0 שנמצא בסעיף א’ הוא היחיד בעל התכונה הנתונה.
ג. נניח בנוסף שמתקיים a>0. חשב את הגבול:

\lim_{x\to\infty}\left(x^4\left(\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{\frac{1}{a}}-2\right)-(x\ln(a))^2\right)

אני מתקשה עם סעיף ג’. יתכן שזה קשור לסעיפים הקודמים אבל אני לא רואה את הקשר. לכן הוספתי גם את הסעיפים האחרים. לסעיף הראשון הגדרתי פונקציה:

g(x)=2b\cos\left(\frac{x}{2}\right) + 0.5x^2 -ax

מצאתי שהנגזרת שואפת לאינסוף באינסוף ולמינוס אינסוף במינוס אינסוף, לכן משפט דרבו קיימת נקודה בה היא מקבלת את הערך אפס.
את סעיף ב’ פתרתי על דרך השלילה והגעתי לסתירה.
לא מצליח להבין איך לחשב את הגבול.
תודה לעוזרים

[Gilad]

לא רואה קשר לסעיפים הקודמים. מה שחשוב להבין בסעיף ג’ הוא שהפרמטר a הוא ממשי חיובי. נגדיר:

f(x)=x^{4}\left(\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{\frac{1}{a}}-2\right)-(x\ln(a))^{2}

הפתרון הכי מהיר שאני רואה כדי לפתור את הגבול הוא להשתמש במשפט לופיטל. החלק הכי “מכוער” במשוואה הוא הביטויים בחזקת x. לכן נרצה להיפטר מהם באופן הבא:

f(x)=x^{4}\left(e^{\frac{1}{x}\ln(a)}+e^{-\frac{1}{x}\ln(a)}-2\right)-(x\ln(a))^{2}

נסמן y=\frac{\ln(a)}{x} ונקבל את הפונקציה הבאה:

\begin{align*} f(x)&=x^{4}\left(e^{\frac{1}{x}\ln(a)}+e^{-\frac{1}{x}\ln(a)}-2\right)-(x\ln(a))^{2}\\&=\left(\frac{\ln(a)}{y}\right)^{4}\left(e^{y}+e^{-y}-2\right)-\left(\frac{\ln^{2}(a)}{y}\right)^{2}\\&=\ln^{4}(a)\left(y^{-4}(e^{y}+e^{-y}-2)-y^{-2}\right) \end{align*}

לכן נרצה לחשב את הגבול \lim_{y\to 0}g(y) כאשר הפונקציה הינה:

g(y)=y^{-4}(e^{y}+e^{-y}-2)-y^{-2}=\frac{e^{y}+e^{-y}-2-y^{2}}{y^{4}}

נבצע ארבע פעמים כלל לופיטל ונקבל את הגבול \frac{1}{12}. לכן סה"כ הגבול של הפונקציה f(x) הוא:

\lim_{x\to\infty}f(x)=\frac{\ln^4(a)}{12}

להשתמש בכלל לופיטל ארבע פעמים זה הרבה העבודה שחורה ולכן אתה יכול לנסות ללכת על הכיוון e^y+e^{-y}-2=e^{-y}(e^y-1)^2 ולהשתמש בכך שמתקיים \lim_{y\to0}\frac{e^y-1}{y}=1.
מקווה שמובן, בהצלחה