לא רואה קשר לסעיפים הקודמים. מה שחשוב להבין בסעיף ג’ הוא שהפרמטר a הוא ממשי חיובי. נגדיר:
f(x)=x^{4}\left(\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{\frac{1}{a}}-2\right)-(x\ln(a))^{2}
הפתרון הכי מהיר שאני רואה כדי לפתור את הגבול הוא להשתמש במשפט לופיטל. החלק הכי “מכוער” במשוואה הוא הביטויים בחזקת x. לכן נרצה להיפטר מהם באופן הבא:
f(x)=x^{4}\left(e^{\frac{1}{x}\ln(a)}+e^{-\frac{1}{x}\ln(a)}-2\right)-(x\ln(a))^{2}
נסמן y=\frac{\ln(a)}{x} ונקבל את הפונקציה הבאה:
\begin{align*}
f(x)&=x^{4}\left(e^{\frac{1}{x}\ln(a)}+e^{-\frac{1}{x}\ln(a)}-2\right)-(x\ln(a))^{2}\\&=\left(\frac{\ln(a)}{y}\right)^{4}\left(e^{y}+e^{-y}-2\right)-\left(\frac{\ln^{2}(a)}{y}\right)^{2}\\&=\ln^{4}(a)\left(y^{-4}(e^{y}+e^{-y}-2)-y^{-2}\right)
\end{align*}
לכן נרצה לחשב את הגבול \lim_{y\to 0}g(y) כאשר הפונקציה הינה:
g(y)=y^{-4}(e^{y}+e^{-y}-2)-y^{-2}=\frac{e^{y}+e^{-y}-2-y^{2}}{y^{4}}
נבצע ארבע פעמים כלל לופיטל ונקבל את הגבול \frac{1}{12}. לכן סה"כ הגבול של הפונקציה f(x) הוא:
\lim_{x\to\infty}f(x)=\frac{\ln^4(a)}{12}
להשתמש בכלל לופיטל ארבע פעמים זה הרבה העבודה שחורה ולכן אתה יכול לנסות ללכת על הכיוון e^y+e^{-y}-2=e^{-y}(e^y-1)^2 ולהשתמש בכך שמתקיים \lim_{y\to0}\frac{e^y-1}{y}=1.
מקווה שמובן, בהצלחה 