שלום, יש לי שאלה שלא הצלחתי אותה. אני כבר מעל שעה מנסה להוכיח. נעזרתי בתכונות המלבן, אך עדיין לא הצלחתי.
השאלה המדוברת:
במלבן ABCD נתון OF || AD ו-OE ||AB.
הוכיחו: BD=4\cdot KE.
שרטוט:
אז ככה, אני ניסיתי להוריד תיכון למשולש ישר זווית ועדיין לא הצלחתי להוכיח. לכן אני מבקש עזרה בזה. לרוב אין אני לא נוהג לבקש עזרה באינטרנט, אבל המקרה הזה באמת היה בלתי הגיוני עבורי.
שלום @EZRA, זה בסדר לשאול שאלות. כמה שיותר, יותר טוב. העיקר שתבין את החומר. לשם כך הפורום SolX נועד 
הדרכה למקרה ותרצה לנסות לבד: תוכיח כי המרובע AFOE הוא מלבן. לאחר מכאן, תוכיח כי מתקיים AF=FB ו-AE=ED. מכך נקבל כי EF הוא קטע אמצעים במשולש ABD ותשתמש בכך שהאלכסונים חוצים זה את זה במלבן כדי להוכיח את 4\cdot KE=BD.
נפתור את השאלה באופן מסודר:
נתון כי הצלע OF מקביל לצלע AD. הצלע AE מוכל בצלע AD ולכן הצלע OF מקביל צלע AD. כמו כן, הצלע OE מקביל לצלע AB. הצלע AF מוכל בצלע AB ולכן הצלע OE מקביל צלע AE. קיבלנו כי במרובע AFOE שני זוגות של ישרים מקבילים ולכן הוא מקבילית. במלבן הזוויות הן 90 מעלות ולכן הזווית \angle BAD היא זווית ישרה. אם במקבילית הזווית היא ישרה אזי נובע מכך כי היא מלבן ולכן מרובע AFOE הוא מלבן.
האלכסונים במלבן שווים באורכם, ונקודת החיתוך שלהם מחלקת כל אלכסון לשני חלקים שווים ומכך נובע שהאלכסונים חוצים זה את זה ושווים זה לזה. האלכסונים של המלבן ABCD הם האלכסונים AC ו-BD אשר נפגשים בנקודה O ולכן נקבל BO=AO=OC=OD. בפרט, כרגע מעניין אותנו BO=AO, כלומר המשולש ABO הוא משולש שווה שוקיים. המרובע AFOE הוא מלבן ולכן הזווית \angle AFO היא ישרה, כלומר הצלע FO הוא גובה לבסיס במשולש שווה שוקיים ABO. במשולש שווה שוקיים, הגובה לבסיס מתלכד עם התיכון ולכן AF=FB. כמו כן, הראנו כי AO=OD. כמו קודם, המרובע AFOE הוא מלבן ולכן הזווית \angle AEO היא ישרה, כלומר הצלע EO הוא גובה לבסיס במשולש שווה שוקיים AOD. במשולש שווה שוקיים, הגובה לבסיס מתלכד עם התיכון ולכן AE=ED. ביחד עם AF=FB נובע כי הצלע EF הוא קטע אמצעים במשולש ABD. קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה, כלומר מתקיים EF||BD וגם 2\cdot EF=BD. כאמור, במלבן האלכסונים חוצים אחד את השני ולכן FK=KE, כלומר 2\cdot KE=FE. נציב במשוואה 2\cdot EF=BD ונקבל 4\cdot KE=BD, כנדרש.